미적분학 9-2

본문내용

일 때 이고 이므로
따라서 y = x 와 y = -x는 둘다 (0,0)에서 곡선의 접선이다.
문제 9-2-14> a) trochoid , 의 접선의 기울기를 로 나타내어라.
b) d 풀이>a) 이므로
b) 이면 이므로
이는 가 결코 없어지지 않는다는 것을 보여주므로
trochoid는 d 문제 9-2-15> 곡선 , 위의 어느 점에서 그 접선이 방정식 , 인 직선과 평행이 되는가?
풀이>매개변수 방정식 과 의 직선의 방정식은 이고
이것의 기울기는 이다.
곡선 , 은 기울기 를 갖는다.
이것이 과 같으면 이고
또는 또는
문제 9-2-16> 타원의 매개변수방정식 , , 를 이용하여 내부의 넓이를 구하여라.
풀이>x축과 y축에 대한 대칭성으로
문제 9-2-17> 곡선 , , 와 직선 y=1, x=0으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
풀이>
문제 9-2-18~19> 다음 곡선의 길이를 구하는 적분식을 구하여라.(계산은 하지 말것)
문제 18>
풀이>이고 이므로
따라서
문제 19>
풀이>이고 이므로
문제 9-2-20~21> 다음 곡선의 길이를 구하여라.
문제 20>
풀이> 이고 이므로
따라서
문제 21>
풀이>이고 이므로
따라서
[]
문제 9-2-22~23> 다음 곡선을 그리고, 또 그 길이를 구하여라.
문제 22>
풀이>
따라서
문제 23>
풀이>
따라서
문제 9-2-24> Simpson의 법칙을 이용하여(n=6 일 때) 다음 곡선의 길이의 근사값을 구하여라.
풀이>
따라서
라고 하면 Simpson의 법칙에서 n=6, 이므로
문제 9-2-25> 시간 구간에서 t가 변할 때 점 (x,y) 위에 놓인 질점이 통과한 거리를 구하여라.
풀이>
거리= [대칭성에 의해]
t가 0에서 으로 갈 때 전체 곡선을 지나게 된다. 이 곡선은 의 일사분면에 있는 부분이므로(x, y 0이므로)이 부분은 t가 0에서 으로 갈 때 완전히 지나게 된다.
따라서
문제 9-2-26> 타원 의 전체 길이가
로 주어짐을 밝혀라. 단, e는 타원의 이심률을 나타냄
풀이>
[대칭에 의해]
문제 9-2-27> a) 다음 방정식으로 표현되는 에피트로코이그(epitrochoid)의 그래프를 그려라.
또 완전한 전체 곡선을 나타내 주는 매개변수 구간은 무엇인가?
b) CAS(컴퓨터계산기)를 이용하여 이 곡선의 길이의 근사값을 구하여라.
풀이>a) 이므로 는 전체 곡선을 나타내지 못한다는 것을 주의해라. 각각의 매개변수 방정식의 첫 번째 항이 주기 를 갖고 두 번째 항이 주기 을 가지므로 이 둘의 최소공배수는 이다. 따라서 전체 곡선을 얻기 위해서는 를 선택해야 한다.
b) 와 를 얻기위해서 CAS를 이용하고 식 1로 호의 길이를 얻는다.
최근 버전의 Maple은 의 값을 로 나타낸다.
여기서 는 타원적분이고 는 허수 이다.
초기버전의 Maple(Mathematica도 마찬가지임)은 적분을 정확히 할 수 없다. 따라서 길이를 추정하기 위해서 명령 evalf(Int (sqrt(diff(x,t)^2 + diff(y,t)^2 , t=0..4*Pi))를 이용하면 호의 길이는 대략 294.03을 얻는다.
Derive의 유틸리티 파일 Int_Apps에 있는 Para_arc_length함수는 적분을 로 단순화 한다.
문제 9-2-28> 다음 곡선을 x축에 관해 회전시켰을 때 생기는 곡면적(표면적)을 나타내는 적분식을 구하여라. (단, 계산은 하지 말 것)
풀이>이므로
문제 9-2-29~30> 다음 곡선을 x축에 관해 회전시켰을 때 생기는 곡 면적을 구하여라.
문제 29>
풀이>
[
]
문제 30>
풀이>
문제 9-2-31> 곡선 을 x축에 관해 회전시켰을 때 생기는 곡면적을 계산기를 사용하여 소수점 셋째자리까지 구하여라.
풀이>이고 이므로
문제 9-2-32> 다음 곡선을 y축에 관해 회전시켰을 때 생기는 곡면적을 구하여라.
풀이>
[]
문제 9-2-33> 만약 f'이 연속이고 일 때. 매개곡선 x=f(t), y=g(t),
이 이 형태로 주어질 수 있음을 보여라.(도움말: 가 존재함을 보일 것)
풀이>에서 만약 f'이 연속이고 이면, 구간 [a, b]의 모든 t에 대해서 이거나 [a, b]의 모든 t에 대해서 이다.
따라서 f는 구간 [a, b]에서 monotonic이다.(단조증가 또는 단조 감소) 이는 f가 역을 갖는다는 것이다.
이라고 하자. F는 로 정의된다.
그러면 이므로
문제 9-2-34> 곡선의 점 P에서 곡률( curvature)은, 그림에서 보는 것과 같이 P에서 접선의 경사각을 라 할 때
로 정의된다. 따라서 곡률은 호의 길이에 대한 의 변화율이 절대값이다. 그것은 P에서 곡선의 방향의 변화율을 잰 것이라 할 수 있는데, 보다 자세한 것은 12장에서 공부하게 된다.
a) 매개곡선 에 대하여 공식
을 유도하여라. 여기서 점은 t에 관한 도함수를 나타내는 것으로 이다. (도움말 : 를 구하기 위해 와 방정식 2를 이용하고, 를 구하기 위해 연쇄법칙을 이용하라.)
b) 곡선 를 x를 매개변수로 하는 매개변수곡선 x=x, y=f(x)로 생각하면 (a)의 공식이
이 됨을 보여라.
풀이>a)
그러나
연쇄법칙과 를 사용하면
b) x=x 이고 y=f(x) 이면 이고
문제 9-2-35> 문제 34번의 (a)의 공식을 이용하여 사이클로이드 , 의 한 호의 최고점에서의 곡률을 구하여라.
풀이> 이고
따라서
호의 최고점은 수평접선으로 특징지워진다. 그리고 9-2절의 예제2(b)로부터 접선은 일 때 수평이다. 따라서 n=1을 선택하고 로 바꾸면
문제 9-2-36> 한 실이 원둘레를 따라 감겨져 있다가 팽팽히 당겨지면 직선인 상태로 된다. 그 실의 끝점 P에 의하여 그려진 곡선을 원의 신개선(involute)이라 부른다. 만약 원이 반지름 r과 중심O를 가진다면 P의 최초의 위치도 (r, 0)이다. 매개변수 가 아래 그림에서와 같다면, 신개선의 매개변수 방정식은 다음과 같다.
풀이>T의 좌표는 이다.
TP는 호 TA로부터 풀리므로 TP는 길이 를 가진다.
또한 이므로
P는 좌표 와
이다.

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