미적분학 13-6

목차

13. 6 방향도함수와 기울기 벡터

본문내용

13. 6 방향도함수와 기울기 벡터
2.
<풀이>
, 라 가정하면
위 두값의 평균은
같은 방법으로 라 가정하면
위 두값의 평균은
∴
3.
<풀이>
가 방향의 단위벡터라면 식 (6)으로부터
4.
(a)
(b)
(C) 식 (9)에 의해
5.
(a)
(b)
(c) 식 (14)에 의해
6.
<풀이>
방향의 단위벡터
∴
7.
<풀이>
방향의 단위벡터
∴
8.
<풀이>
방향의 단위벡터
∴
9.
<풀이>
방향의 단위벡터
∴
10.
<풀이>
방향의 단위벡터
∴
11.
<풀이>
은 변화율의 최대치.
∴최대변화율은
12.
<풀이>
∴방향 에서의 최대변화율은
13.
<풀이>
∴방향 에서의 최대변화율은
14.
(a) 정리 (15)의 증명에 따라
의 최소값이 일 때 -1이므로 의 최소값은 일 때
이때 는 의 반대방향이다.
(b)
∴는 에서 방향으로 급격하게 감소한다.
15.
<풀이> 가장 빠른 변화의 방향은 이므로
인 모든 점을 찾는다.
∴위의 모든 점.
16.
(a)
(b) (a)로부터 이고, 가 의 위치벡터
이므로 와 는 모두 원점을 향한다.
17.
(a)
(b)
(c)
18.
<풀이> 방향의 단위벡터는 i이고, 방향의 단위벡터는 j이다.
∴
∴
정의에 의해 (는 방향의 단위벡터)
∴
19.
(a)
(b)
(c)
(d)
20.
<풀이> 이라 하면 은 의 level surface
(a) 에서의 접평면은 - 식(19)
(b) 법선은 - 식(20)
21.
<풀이> 이라 하면 은 의 level surface
또,
(a) 이므로 법평면은
(b) 법선은
22.
<풀이> 이라 하면
(a) 이므로 법평면은
(b) 법선은
25.
<풀이>
는 타원위에 있는 점이므로 에서의 접평면의 방정식은
∴은 접평면의 방정식이다.
26.
<풀이>
는 타원위에 있는 점이므로 에서의 접평면의 방정식은
이고, 이므로
∴은 접평면의 방정식이다.
27.
<풀이> 이고, 주어진 직선은 2, 4, 6의 방향을 갖는다.
∴,이므로
이고 점들은
28.
<풀이> 을 원추위의 점이라 하면 이점에서의 접평면의 방정식은
이고, 이므로
이 원추에 접하는 평면은 모두 원점을 지난다.
29.
<풀이> 을 표면위의 점이라 하면 이 점에서의 접평면의 방정식은
, 이므로
.
절편은 이므로 절편의 합은
30.
<풀이> 이라 하면,
접선은 에서 와 에 모두 수직.
∴벡터 는 접선과 평행이다.
∴
∴매개변수 방정식은
31.
(a) 의 법선의 방향은 에 의해 주어지고, 의 법선의 방향은 에 의해 주어진다.
라 가정하고, 인 에서 두 법선은 평행이다.
즉, 에서
∴에서
(b)
가 위에 있기 때문에
은 구이고, 은 원추이므로 어느 교점에서나 구의 법선은 원추 위에 있다.
∴구의 법선은 원추의 법선과 수직이므로 모든 점에서 직교한다.
32.
<풀이> 라 하면,
,
위는 를 알지 못하는 선형방정식이고, 와 가 평행하지 않으므로
주어진 점에서 를 찾으면 방정식을 풀 수 있다.

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미적분학,   미분적분학,   솔루션