산업연관분석

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두 동일한 대각행렬을 스칼라행렬(scalar matrix)이라 하는데 특히 주대각요소가 모두 1인 경우 이를 단위행렬(identity matrix)이라 부르며 보통 I로 표시한다. 즉
행렬 A의 행과 열을 순서를 유지하면서 서로 바꾸어 놓은 행렬을 A의 전치행렬(transposed matrix)이라 하며 또는로 표시한다. 즉 행렬 A가 m×n 행렬이면 은 n×m 행렬이 되며 행렬 A의 제 i행은 행렬 의 제 i열로, 행렬 A의 제 j열은 행렬 의 제 j행으로 바뀐다. 행렬 A의 전치행렬 는 다음과 같이 표시한다.
한편 모든 요소가 1인 행벡터를 합벡터(sum vector)라 하며 보통 1로 표시한다. 즉
1 = [ 1 1 1 ]
2. 행렬의 연산
가. 덧셈과 뺄셈
차원이 같은 두 개의 행렬에 대해서는 서로 대응되는 각 요소들을 더하거나 뺌으로써 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다. 즉 m×n의 두 행렬 와 의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같다. 즉
가 된다. 예를 들면
일 경우
이 된다.
나. 곱셈
두 행렬 A=와 B=를 서로 곱하기 위해서는 행렬 A의 열의 수와 행렬 B의 행의 수가 같아야 한다. 즉 행렬 A의 차원이 m×n, 행렬 B의 차원이 p×q인 경우 n=p일 때 두 행렬의 곱 AB가 성립된다. 이 때 C=AB라 하고 C=라 하면 는 행렬 A의 제 i행의 각 요소와 행렬 B의 제 j열의 대응되는 각 요소의 곱의 합이 된다. 즉
로 쓸 수 있으며 이 때 행렬 C의 차원은 m×q가 된다. 예를 들어
라 하면
이 되며 BA, xA, xb 등은 성립되지 않는다.
한편 주대각요소가 인 대각행렬 A와 n차의 정방행렬 B의 곱 C(=AB)의 각 요소 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
즉 행렬 C의 제 i행의 각 요소는 행렬 B의 제 i행의 각 요소에 를 곱한 것으로 나타나게 되는 것이다. 한편 두 행렬의 곱 D(=BA)의 각 요소 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
이 경우 행렬 D의 제 j열은 행렬 B의 제 j열의 각 요소에 를 곱한 것이 된다. 예를 들어
라 하면
가 된다.
두 개의 행렬, 즉 행렬 A와 행렬 B의 곱셈에서 AB=BA의 관게가 항상 성립되지는 않는다. 즉 두 행렬의 곱 AB와 BA가 모두 정의되기 위해서는 행렬 A의 차원이 m×n, 행렬 B의 차원이 n×m이어야 하는데 이 때 AB의 차원은 m×m, BA의 차원은 n×n이 되므로 AB≠BA임을 알 수 있다. 또 m=n인 경우에도 AB와 BA는 다른 것이 일반적이다. 예를 들어
인 경우
이므로 AB≠BA인 것이다.
어떤 행렬 A에 적절한 차원의 단위행렬 I를 앞에서 곱하거나 뒤에서 곱하여도 그 행렬은 변하지 않으며 단위행렬끼리는 서로 곱하여도 그 결과는 단위행렬이 된다. 즉
AI = A IA = A
II = I²= I
이 된다.
한편 행렬(A)과 스칼라(k)의 곱셈은 행렬 A의 각 요소에 스칼라 k를 곱하는 형태로 이루어진다. 즉 kA는
으로 정의된다. 예를 들어
일 경우
이 된다.
3. 연립방정식의 행렬표시
행렬을 이용하면 연립방정식을 간편히 나타낼 수 있게 된다. 이제 다음과 같은 두 개의 선형방정식이 있다고 하자.
여기에서
가 된다. 이를 행렬기호로 간단히 쓰면
Ax=b
가 된다.
이제 Ax=b에서 미지수의 벡터 x의 값을 구하는 방법을 생각해 보기로 하자.
일반적으로 1원 1차 방정식 ax=b에서 양변에 a의 역수를 곱함으로써 x의 값 를 구할 수 있다. 위의 행렬 Ax=b에서도 이와 마찬가지로 행렬 A의 역행렬 를 양변에 곱하면 Ax=b가 되는데 A는 단위행렬(I)이 되어 x=b가 x의 값을 구하는 식이 된다.
4. 행렬식
행렬식(determinant)이란 어떤 행렬의 값을 나타내는 스칼라량을 말하며 를 요소로 하는 정방행렬 A의 행렬식은 또는 det A로 표시하는데 그 계산과정을 보면 다음과 같다.
먼저 n차 정방행렬에 대하여 임의의 제 i행과 제 j열을 제거하면 (n-1)차의 정방행렬이 되는데 이 (n-1)차 행렬의 행렬식을 의 소행렬식(minor)이라 하며 라 표시한다. 이 소행렬식에 부호를 붙인 를 여인수(cofactor)라 하고 로 표시하는데 여기에서 i+j의 값이 짝수이면 =, i+j의 값이 홀수이면 = -가 됨을 알 수 있다. 이 소행렬식 와 여인수 를 이용하여 행렬식 를 다음과 같이 계산할 수 있다.
=
(단, i는 임의로 선정된 특정행을 표시함)
또는
=
(단, j는 임의로 선정된 특정열을 표시함)
이제 2차 및 3차 정방행렬을 예로 하여 행렬식의 계산방법을 살펴보기로 한다. 2차의 정방행렬 A를 제 1행에 따라 전개하여 행렬식을 계산해 보면 다음과 같다.
=
=
3차의 정방행렬 B에 대하여도 같은 방법으로 제 1행에 따라 전개하여 행렬식을 계산해 보면 다음과 같다.
=
=
실제의 숫자 예를 보면
인 경우
= 4
가 되는 것이다.
5. 역행렬
n차의 두 정방행렬 A와 B가 있어 AB=BA=I의 관계가 성립하는 경우 행렬 B는 행렬 A의 역행렬(inverse matrix)이라 하며 로 표시한다. 마찬가지로 행렬 A는 행렬 B의 역행렬이 되며 로 표시한다. 예를 들어
인 경우
이므로 이 때 행렬 B는 행렬 A의 역행렬이며 행렬 A는 행렬 B의 역행렬이 되는 것이다.
이제 실제로 역행렬이 계산되는 과정을 살펴보기로 하자. 정방행렬 A=
의 역행렬을 라 하면
(단, 는 각각 의 소행렬식 및 여인수)
가 된다. 즉 행렬 A의 역행렬 은 다음과 같이 계산된다.
여기서 인 경우에만 역행렬 이 존재함을 알 수 있다.
이제 앞서 예로 든 2차 및 3차의 행렬에 대한 역행렬을 계산해 보기로 하자.
에서 행렬식 이고
여인수를 구해 보면
가 된다. 따라서
이 되며 임을 알 수 있다. 마찬가지로
에서 행렬식 이고
여인수를 구해보면
이므로
가 되며 의 관계가 성립함을 확인할 수 있다.
역행렬에 관하여 주의하여야 할 것은 앞에서 설명한 바와 같이 모든 정방행렬에 대하여 전부 역행렬이 정의되는 것이 아니라 행렬식이 0이 아닌 경우에만 역행렬이 존재한다는 점이며 또한 어떤 행렬에 대하여 역행렬이 정의되는 경우에는 그 행렬에 대한 역행렬은 단 하나만이 존재하게 된다.

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