목차
Ⅰ. 서 론
Ⅱ. 본 론
1. 유클리드의 원론에 대해서 논하여라.
1) 원론의 정의
2) 유클리드의 원론 이전의 원론들
3) 유클리드의 원론의 구성
4) 유클리드의 원론의 형식적 특성
5) 공리적 방법에 대한 유클리드의 개념과 용도
6) 유클리드의 원론에서의 일반 개념(공리)와 공준
7) 공준과 일반 개념(공리)에 대한 논란
8) 유클리드의 원론의 논리적 결함
9) 유클리드의 수학사적 의의
2. 3차방정식의 근의 발견문제는 오늘날 카르다노에게 그 공을 돌리고 있는데 그 이유에 대하여 논하여라
3. 피타고라스 정리를 각자 독특한 방법을 사용하여 증명하라.
4. 주어진 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 것이 불가능한 이유를 설명해 보라.
Ⅲ. 결 론
참고문헌
Ⅱ. 본 론
1. 유클리드의 원론에 대해서 논하여라.
1) 원론의 정의
2) 유클리드의 원론 이전의 원론들
3) 유클리드의 원론의 구성
4) 유클리드의 원론의 형식적 특성
5) 공리적 방법에 대한 유클리드의 개념과 용도
6) 유클리드의 원론에서의 일반 개념(공리)와 공준
7) 공준과 일반 개념(공리)에 대한 논란
8) 유클리드의 원론의 논리적 결함
9) 유클리드의 수학사적 의의
2. 3차방정식의 근의 발견문제는 오늘날 카르다노에게 그 공을 돌리고 있는데 그 이유에 대하여 논하여라
3. 피타고라스 정리를 각자 독특한 방법을 사용하여 증명하라.
4. 주어진 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 것이 불가능한 이유를 설명해 보라.
Ⅲ. 결 론
참고문헌
본문내용
넓이에 대한 공식을 배운 즉시 제시될 수 있다.
1876년 가필드가 발표한 교묘한 증명 방법
□ DECA = △ DEB + △ ABC + △ DBA∴ a2 + b2 = c2
4. 주어진 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 것이 불가능한 이유를 설명해 보라.
하늘과 땅의 조화는 델포이의 신탁이 던진 기하학적 수수께끼, 즉 '원과 같은 면적의 정사각형 구하기'라는 문제로 상징되었다. 이것은 주어진 원과 같은 면적을 가진 정사각형이나 원주와 둘레 길이가 같은 정사각형을 작도할 수 있느냐 하는 문제였다.
수백 년 이상에 걸쳐 수많은 사람들이 이 문제에 도전했지만, 아무도 성공하지 못했다. 근사적으로 그리는 것 외에는 기하학적 세 가지 도구(자, 콤파스, 연필)만으로 이 문제를 푸는 것은 불가능하기 때문이다.. 원과 동일한 면적을 지니는 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는가? 고대 이래 이어진 수수께끼는 원주율(π)이 초월수임이 증명되면서 ‘불가능하다’는 결론을 얻었다.
초월적인 원(측정 불가능한 원주의 길이가 끝없는 소수점이하의 자리로 이어지는)과 정사각형의 이성적인 변들 사이에 절대적인 화해라는 불가능한 일이 요구되기 때문이다. 이상과 실제, 원형과 그 표현은 결코 동일한 것이 될 수 없다. '원과 같은 면적의 정사각형'은 하늘과 땅의 화해를 나타내는 궁극적인 상징이다. 따라서, 그것은 상징 기하학과 화해의 역할을 담당하는 많은 사원의 건축을 규제하는 척도들에 근사적으로 사용된다.
비록 기하학자의 도구로는 원과 같은 면적의 정사각형을 작도할 수 없지만, 서로에 대해 직각으로 그린 두 베시카 피시스로 그것에 아주 가까운 것을 작도할 수는 있다. 이것은 고대 시대부터 알려져 있던 것이다. 가장 안쪽의 네 교점에 의해 만들어지는 정사각형은 베시카 피시스 안에 만들어진 원의 원주 길이에 아주 가까운 둘레 길이를 가진다. 기하학적 조화를 나타내는 이 상징은 사원 설계에서 핵심 요소가 되었다.
주어진 조건을 만족하는 도형을 지정된 방법으로 작도할 수 없는 경우의 문제. 기하학에서는 특정한 기구만을 유한회 사용하여 도형을 그리는 것이 문제가 되는데, 어떤 경우에는 구하는 도형이 실제로 존재하는데도 불구하고 지정된 방법으로는 그릴 수 없는 것이 있다.
고대그리스의 기하학자가 다루었던 사용기구를 자와 컴퍼스로 한정하는 평면도형의 작도가 가장 많이 알려져 있는데, 이에 관한 다음의 3가지 문제가 특히 유명하다.
① 주어진 각의 3등분(각의 3등분문제) ② 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖은 정육면체의 작도(정육면체 倍積問題) ③ 주어진 원과 같은 면적을 갖는 정사각형의 작도(圓積問題)이다. 이들 문제는 BC 5∼6세기 무렵부터 그리스의 기하학자에 의해 연구되었으며 집요하게 그 해법을 구하려 했으나 해결을 보지 못하고 그리스수학의 3대문제로 후세에 남겨졌다.
그 뒤에도 수세기에 걸쳐 그 해법을 찾았으나 19세기에 와서야 자와 컴퍼스를 유한회 사용하는 작도법으로는 위의 3가지 작도가 불가능하다는 것이 증명되었다. 즉, 자와 컴퍼스에 의해 작도가 가능한 것은, 구하는 도형을 결정하는 선분의 길이를 나타내는 수가 그 선분을 나타내는 수로부터의 사칙계산과 제곱근풀이로 얻어질 수 있을 때에 한한다는 것을 알게 되었다. 예를 들면 1882년 C.L.F. 린데만이 원적문제를 푸는 데 필요한 원주율 π는 초월수라는 것을 증명하였다. 또한 정칠각형의 작도도 자와 컴퍼스만으로는 불가능하다.
주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도할 수 있는가의 문제로, '원적문제'로 불리기도 한다. 고대 그리스 시기부터 수많은 사람들이 이 문제에 도전했으나 답을 찾아내지 못했다. 1882년'파이는 초월수이다' 라는 사실이 증명되면서 그 불가능성이 완전히 해결되었다.
작도의 불가능성 증명해 보면, 반지름이 1인 원이 주어졌다고 한다면, 그 원의 면적은 가 된다. 따라서 의 길이를 갖는 선분을 작도할 수 있으면 문제를 해결가능하다. 그러나 파이는 초월수이므로, 역시 대수적수일수 없다. 대수적수가 아니면, 자와 컴파스를 이용하여 작도할 수 없으므로 불가능성 증명한다.
Ⅲ. 결 론
유클리드의 원론은 아라비아를 통하여 후대에 전해져 아라비아, 라틴, 기타 각국어로 번역되어 세계 각국에 있어서 거의 원형 그대로 교과서로서 채용되었다. 1907년 처음 한역되었을 때 "기하 원본"이라 불렸고, 이로써 중국, 한국, 일본 등에서는 기하학의 명칭을 사용하게 되었다. 한 저술로써 이만큼 오래 세상에서 사용되고, 더욱이 커다란 영향을 미친 서적은 유례가 없다.
타르탈리아가 피오르와의 3차방정식 풀기 시합에서 승리한 후 카르다노는 타르탈리아를 설득하여 마침내 그 해법을 입수하게 되었다. 처음에 타르탈리아는 이를 거절하였으나 카르다노가 이를 공표하지 않겠다는 명세를 하고 이를 알려 주었다고 한다. 처음 몇 년 동안 카르다노도 타르탈리아와의 약속을 지켰으나 그 이후 페로가 타르탈리아 보다 먼저 그 해법을 찾았다는 것을 알고 그 해법을 그의 저서 <위대한 술법>에 발표하게 된다. 타르탈리아의 주장과는 달리 카르다노는 그의 저서에서 그 해법이 자신의 것임을 주장하지 않았으며 페로의 업적으로 타르탈리아도 독립적으로 그 해법을 발견했다고 기술했다고 한다.
한편 카르다노는 페로와 타르탈리아와는 달리 2차항을 갖는 것을 포함하여 다른 형태의 3차방정식이 있다는 것을 깨닫고 있었으며 어떻게 한 방정식이 특별한 형태로 변환되는가 하는 것을 알고 있었다. 이러한 점에서 볼 때 카르다노가 타르탈리아의 업적을 가로챘다는 이야기는 잘못 알려진 것이라 할 수 있다.
참고문헌
1. 김용찬, 수학의 원리는 아름답다, 영남대학교출판부, 2008.
2. 배종수, 신항균, 현대수학의 이해, 경문사, 2010
3. 이송희, 한국과 인도의 고등학교 수학 교과서 비교 $분석 연구, 숙명여대 교육대학원 석사학위논문, 2009.
4. 최소영, 이슬람문양기반 체험수학소재 개발에 관한 연구, 금오공과대 교육대학원 석사학위논문, 2009.
5. 신현성, 수학교육론, 경문사, 1999.
6. 찰스 밴 도렌, 박중서 역, 지식의 역사, 갈라파고스, 2010
1876년 가필드가 발표한 교묘한 증명 방법
□ DECA = △ DEB + △ ABC + △ DBA∴ a2 + b2 = c2
4. 주어진 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 것이 불가능한 이유를 설명해 보라.
하늘과 땅의 조화는 델포이의 신탁이 던진 기하학적 수수께끼, 즉 '원과 같은 면적의 정사각형 구하기'라는 문제로 상징되었다. 이것은 주어진 원과 같은 면적을 가진 정사각형이나 원주와 둘레 길이가 같은 정사각형을 작도할 수 있느냐 하는 문제였다.
수백 년 이상에 걸쳐 수많은 사람들이 이 문제에 도전했지만, 아무도 성공하지 못했다. 근사적으로 그리는 것 외에는 기하학적 세 가지 도구(자, 콤파스, 연필)만으로 이 문제를 푸는 것은 불가능하기 때문이다.. 원과 동일한 면적을 지니는 정사각형을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는가? 고대 이래 이어진 수수께끼는 원주율(π)이 초월수임이 증명되면서 ‘불가능하다’는 결론을 얻었다.
초월적인 원(측정 불가능한 원주의 길이가 끝없는 소수점이하의 자리로 이어지는)과 정사각형의 이성적인 변들 사이에 절대적인 화해라는 불가능한 일이 요구되기 때문이다. 이상과 실제, 원형과 그 표현은 결코 동일한 것이 될 수 없다. '원과 같은 면적의 정사각형'은 하늘과 땅의 화해를 나타내는 궁극적인 상징이다. 따라서, 그것은 상징 기하학과 화해의 역할을 담당하는 많은 사원의 건축을 규제하는 척도들에 근사적으로 사용된다.
비록 기하학자의 도구로는 원과 같은 면적의 정사각형을 작도할 수 없지만, 서로에 대해 직각으로 그린 두 베시카 피시스로 그것에 아주 가까운 것을 작도할 수는 있다. 이것은 고대 시대부터 알려져 있던 것이다. 가장 안쪽의 네 교점에 의해 만들어지는 정사각형은 베시카 피시스 안에 만들어진 원의 원주 길이에 아주 가까운 둘레 길이를 가진다. 기하학적 조화를 나타내는 이 상징은 사원 설계에서 핵심 요소가 되었다.
주어진 조건을 만족하는 도형을 지정된 방법으로 작도할 수 없는 경우의 문제. 기하학에서는 특정한 기구만을 유한회 사용하여 도형을 그리는 것이 문제가 되는데, 어떤 경우에는 구하는 도형이 실제로 존재하는데도 불구하고 지정된 방법으로는 그릴 수 없는 것이 있다.
고대그리스의 기하학자가 다루었던 사용기구를 자와 컴퍼스로 한정하는 평면도형의 작도가 가장 많이 알려져 있는데, 이에 관한 다음의 3가지 문제가 특히 유명하다.
① 주어진 각의 3등분(각의 3등분문제) ② 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖은 정육면체의 작도(정육면체 倍積問題) ③ 주어진 원과 같은 면적을 갖는 정사각형의 작도(圓積問題)이다. 이들 문제는 BC 5∼6세기 무렵부터 그리스의 기하학자에 의해 연구되었으며 집요하게 그 해법을 구하려 했으나 해결을 보지 못하고 그리스수학의 3대문제로 후세에 남겨졌다.
그 뒤에도 수세기에 걸쳐 그 해법을 찾았으나 19세기에 와서야 자와 컴퍼스를 유한회 사용하는 작도법으로는 위의 3가지 작도가 불가능하다는 것이 증명되었다. 즉, 자와 컴퍼스에 의해 작도가 가능한 것은, 구하는 도형을 결정하는 선분의 길이를 나타내는 수가 그 선분을 나타내는 수로부터의 사칙계산과 제곱근풀이로 얻어질 수 있을 때에 한한다는 것을 알게 되었다. 예를 들면 1882년 C.L.F. 린데만이 원적문제를 푸는 데 필요한 원주율 π는 초월수라는 것을 증명하였다. 또한 정칠각형의 작도도 자와 컴퍼스만으로는 불가능하다.
주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도할 수 있는가의 문제로, '원적문제'로 불리기도 한다. 고대 그리스 시기부터 수많은 사람들이 이 문제에 도전했으나 답을 찾아내지 못했다. 1882년'파이는 초월수이다' 라는 사실이 증명되면서 그 불가능성이 완전히 해결되었다.
작도의 불가능성 증명해 보면, 반지름이 1인 원이 주어졌다고 한다면, 그 원의 면적은 가 된다. 따라서 의 길이를 갖는 선분을 작도할 수 있으면 문제를 해결가능하다. 그러나 파이는 초월수이므로, 역시 대수적수일수 없다. 대수적수가 아니면, 자와 컴파스를 이용하여 작도할 수 없으므로 불가능성 증명한다.
Ⅲ. 결 론
유클리드의 원론은 아라비아를 통하여 후대에 전해져 아라비아, 라틴, 기타 각국어로 번역되어 세계 각국에 있어서 거의 원형 그대로 교과서로서 채용되었다. 1907년 처음 한역되었을 때 "기하 원본"이라 불렸고, 이로써 중국, 한국, 일본 등에서는 기하학의 명칭을 사용하게 되었다. 한 저술로써 이만큼 오래 세상에서 사용되고, 더욱이 커다란 영향을 미친 서적은 유례가 없다.
타르탈리아가 피오르와의 3차방정식 풀기 시합에서 승리한 후 카르다노는 타르탈리아를 설득하여 마침내 그 해법을 입수하게 되었다. 처음에 타르탈리아는 이를 거절하였으나 카르다노가 이를 공표하지 않겠다는 명세를 하고 이를 알려 주었다고 한다. 처음 몇 년 동안 카르다노도 타르탈리아와의 약속을 지켰으나 그 이후 페로가 타르탈리아 보다 먼저 그 해법을 찾았다는 것을 알고 그 해법을 그의 저서 <위대한 술법>에 발표하게 된다. 타르탈리아의 주장과는 달리 카르다노는 그의 저서에서 그 해법이 자신의 것임을 주장하지 않았으며 페로의 업적으로 타르탈리아도 독립적으로 그 해법을 발견했다고 기술했다고 한다.
한편 카르다노는 페로와 타르탈리아와는 달리 2차항을 갖는 것을 포함하여 다른 형태의 3차방정식이 있다는 것을 깨닫고 있었으며 어떻게 한 방정식이 특별한 형태로 변환되는가 하는 것을 알고 있었다. 이러한 점에서 볼 때 카르다노가 타르탈리아의 업적을 가로챘다는 이야기는 잘못 알려진 것이라 할 수 있다.
참고문헌
1. 김용찬, 수학의 원리는 아름답다, 영남대학교출판부, 2008.
2. 배종수, 신항균, 현대수학의 이해, 경문사, 2010
3. 이송희, 한국과 인도의 고등학교 수학 교과서 비교 $분석 연구, 숙명여대 교육대학원 석사학위논문, 2009.
4. 최소영, 이슬람문양기반 체험수학소재 개발에 관한 연구, 금오공과대 교육대학원 석사학위논문, 2009.
5. 신현성, 수학교육론, 경문사, 1999.
6. 찰스 밴 도렌, 박중서 역, 지식의 역사, 갈라파고스, 2010
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