(방송통신대 선형대수 출석수업대체과제물)2018학년도 선형대수 기출문제 중 5개 문제(5번, 9번, 10번, 13번, 14번)에 대해 풀이를 해설하시오 외 3문제
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소개글

(방송통신대 선형대수 출석수업대체과제물)2018학년도 선형대수 기출문제 중 5개 문제(5번, 9번, 10번, 13번, 14번)에 대해 풀이를 해설하시오 외 3문제에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 2018학년도 선형대수 기출문제 중 5개 문제(5번, 9번, 10번, 13번, 14번)에 대해 풀이를 해설하시오. 단, 정답은 왜 정답인지, 오답은 왜 오답인지를 상세히 설명하십시오. [문항 당 3점씩 총 15점]

2. 제3장의 연구과제 4번(교재 p.71)을 푸시오. [5점]

3. 제4장의 연습문제 2의 (3)번(교재 p.97)을 푸시오. [5점]

4. 제5장의 연구과제 7번(교재 p.129)을 푸시오. [5점]

5. 참고문헌

본문내용

(1)에서 정리3.4(p64)에 따르면 (AT)T = A, (A + B)T = AT + BT 이고, 두 행렬의 합은 교환법
칙이 성립하므로,
(A + AT)T = AT + (AT)T = AT + A = A + AT
위 식은 (A + AT)의 전치행렬이 (A + AT)이라는 것이므로 (A + AT)은 대칭행렬이 된다.
(2)의 경우, 정리3.4(p64)와 행렬의 스칼라곱의 성질에 관한 정리 3.2(p53)의 c(A+B) = cA +
cB를 적용해서 (A - AT)의 전치행렬을 구하면 다음과 같다.
(A - AT)T = AT - (AT)T = AT - A = -(A - AT)
따라서 (A - AT)의 전치행렬이 자기자신의 원소에 부호를 바꾼 결과와 같으므로 역대칭행렬
이 된다.
(3)의 경우, 행렬 A가 대칭행렬이면 A에 실수 c의 곱도 아래 과정을 통해 대칭행렬임을 알
수 있다.
AT = A
정리 3.4에 의하면 (cA)T = cAT 이고, AT = A이므로,
(cA)T = cAT = cA
그리고 행렬 A가 역대칭행렬이면 A에 실수 c의 곱도 아래 과정을 통해 역대칭행렬임도 알 수
있다.
AT = -A
정리 3.2(p53)에 의하면 c(dA) = cd(A)이고, AT = -A이므로
(cA)T = cAT = c(-A) = -cA
그런데 앞서 (1)과 (2)에서 A가 임의의 n차 정방행렬일 때,
(A + AT)와 (A - AT)는 각각 대칭행렬과 역대칭행렬임을 증명했다.
따라서 앞서 증명한 것처럼 (A + AT)도 대칭행렬이고, (A - AT)은 역대칭행렬이다.
(A + AT) + (A - AT) = A이므로
대칭행렬 (A + AT)을 S라 하고, 역대칭행렬 (A - AT)을 T라 하면,
A는 대칭행렬 S와 역대칭행렬 T의 합, 즉 A = S + T로 표현할 수 있다.
3. 제4장의 연습문제 2의 (3)번(교재 p.97)을 푸시오.
(연습문제 2) 다음 행렬은 정칙행렬이다. 기본행렬의 곱으로 표현하라.
설명
먼저 행렬 C를 기본행연산을 통해 3차 단위행렬로 변형한다.
위 과정에서의 기본행 연산을 설명하면 다음과 같다.
R2,1(-6) 는 C의 2행에 -6을 곱한 값을 1행에 더해 그 결과값으로 1행을 변경한다.
R3,2(-1/2) 는 C의 3행에 -1/2를 곱한 값을 2행에 더해 그 결과값으로 2행을 변경한다.
R2,1(16/3) 는 C의 2행에 16/3를 곱한 값을 2행에 더해 그 결과값으로 1행을 변경한다.
R2(1/3)는 C의 2행에 1/3를 곱해 그 결과값으로 2행을 변경한다.
R3(1/2)는 C의 3행에 1/2를 곱해 그 결과값으로 3행을 변경한다.
정리 4.3(p81)에 의해 행렬 C에 기본행연산을 하여 얻은 행렬은 행렬 C에 기본행렬을 곱해
구한 행렬과 동일하므로 각각의 기본행연산을 3차 단위행렬에 적용해 기본행렬을 구한다.
3차 단위행렬 에 대해,
기본행 연산 R2,1(-6)의 기본행렬 E1 =
기본행 연산 R3,2(-1/2)의 기본행렬 E2 =
기본행 연산 R2,1(16/3)의 기본행렬 E3 =
기본행 연산 R2(1/3)의 기본행렬 E4 =
기본행 연산 R3(1/2)의 기본행렬 E5 =
따라서 행렬 C에 기본행연산을 적용한 결과는 앞에서 구한 기본행렬로 다음과 같이 나타낼
수 있다.
E5 E4 E3 E2 E1 C = I3
위 식을 C에 대해 정리하면 다음과 같다.
C = (E5 E4 E3 E2 E1)-1 I3 = (E5 E4 E3 E2 E1)-1 = E1-1 E2-1 E3-1 E4-1 E5-1
정리 4.4(p81)에 따르면 기본행렬은 정칙행렬이며 그 역행렬은 동일한 종류의 기본행렬로 세
종류의 기본행렬 각각에 대해 다음이 성립한다.
Ei,j Ei,j = I 이므로 (Ei,j)-1 = Ei,j
Ei(c) Ei(1/c) = I 이므로 (Ei(c))-1 = Ei(1/c)
Ei,j(c) Ei,j(-c) = I 이므로 (Ei,j(c))-1 = Ei,j(-c)
위 공식을 적용하면 기본행렬의 역행렬을 쉽게 구할 수 있다.
E1-1 = (E2,1(-6))-1 = E2,1(6) =
E2-1 = (E3,2(-1/2))-1 = E3,2(1/2) =
E3-1 = (E2,1(16/3))-1 = (E2,1(-16/3) =
E4-1 = (E2(1/3))-1 = E2(3) =
E5-1 = (E3(1/2))-1 = E3(2) =
따라서 행렬 C는 다음과 같이 기본행렬의 곱으로 표시된다.
C =
참고로 아래는 파이썬 프로그래밍 언어로 위 결과를 확인해본 것이다.
4. 제5장의 연구과제 7번(교재 p.129)을 푸시오.
(연구과제 7번)AT = -A를 만족하는 행렬A를 역대칭행렬이라고 한다(제3장 연구과제4번 참조). A가 3차 역대칭행렬일 때 |A|=0임을 증명하라. 또한 |A|≠0인 2차 역대칭행렬 A를 찾아라.
3차 정방행렬 A의 행렬식은 다음과 같이 계산된다.
|A| = (p107)
그런데 역대칭행렬는 그 정의에 따라 A = (aij)는 모든 i, j에 대해 aij = -aji를 만족한다.
따라서
이를 위의 행력식 |A|에 대입해서 정리하면 다음과 같다.
|A| =
그런데 역대칭행렬은 i=j인 요소, 즉 주대각선의 요소는 모두 0이 된다. 왜냐하면 역대칭행
렬은 모든 i, j에 대해 aij = -aji를 만족해야 하는데, i=j인 요소의 경우 그 값이 0이 아니
면 반대되는 부호의 값이 같다는 모순이 생긴다. 따라서 i=j인 경우에 해당하는 주대각선의
요소는 모두 0이 되어야 한다.
따라서 주대각요소들의 값인 0을 |A|에 대입하면 행렬식 |A| = 0이 된다.
|A|≠0인 2차 역대칭행렬 A를 구하면 다음과 같다.
2차 행렬의 행렬식 |A| =
그런데 A가 역대칭행렬이므로
5. 참고문헌
손진곤, 강태원(2015), 선형대수, 출판문화원.
Kuldeep Singh(2021), 한 걸음씩 알아가는 선형대수학, 한빛아카데미.
Howard Anton,Chris Rorres(2021), (알기 쉬운) 선형대수, 한티에듀.
이병무(2013), 선형대수학 입문, 경문사.
김홍철(2014), 선형대수학과 응용, 경문사.
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  • 페이지수10페이지
  • 등록일2021.10.23
  • 저작시기2021.10
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  • 자료번호#1157397
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