목차
1. 열전도 열전도 (heat conduction)
2. 열전도도 열전도도 (thermal conductivity)
1) 전도의 개념과 기본 방정식
2) 3차원 열전도방정식
2. 열전도도 열전도도 (thermal conductivity)
1) 전도의 개념과 기본 방정식
2) 3차원 열전도방정식
본문내용
의 연료요소의 경우에서와 같이 핵분열에 의하거나, 또는 고체내에서 어떤 화학반응, 핵 폐기물에서와 같이 고체내에 존재하는 방사능 물질의 분해, 물체에 침투하는 감마선의 감쇠, 또는 고체내에 흐르는 전류 등을 생각할 수 있다.
1 차원 열전도방정식을 유도하기 위하여 그림 1-1에서와 같은 좌표축 x에 수직한 면적 A를 갖고 두께가 x인 체적요소를 고려한다. 이 체적요소에 대한 에너지 균형은 다음과 같이 쓸 수 있다.
그림 1-1 일차원 열전도방정식을 유도하기 위한 부호
이 방정식의 각 항 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ은 다음에 설명하는 것처럼 구한다.
q를 x위치에서의 요소의 면적 A에서 양의 x방향으로의 열플럭스를 q라고 하자. 그러면 x위치에서 전도에 의해 표면 A를 통해 요소로 들어가는 열유동률은
라고 할 수 있다. 마찬가지로 위치 x+ x에서 전도에 의해 요소로부터 나가는 열유동률은
라고 쓸 수 있다. 그러면 전도에 의해 요소가 얻는 참 열취득률은 두 값의 차이
이다. 단위체적당 에너지 발생률이 g=g(x,t)이므로 체적이 A x인 요소내에서 발생되는 에너지 발생률은
이다.
시간에 따른 온도의 변화에 다라 생기는 체적요소의 내부에너지 증가율은
로 쓸 수 있다. 고체와 액체에 대하여는 Cp = Cu 이다. 식(1-3a)에서 (1-3c)에 있는 여러 가지 양은 다음과 같이 정의된다.
식(1-3a), (1-3b)를 식(1-2)에 대입하고, 그 결과를 다음 형태로 정리할 수 있다.
x 0일 때 좌변의 첫째 항은 도함수의 정의에 의하여 [Aq]를 x로 미분한 것이 되며, 식(1-4a)를
로 쓸 수 있다. 식(1-1)로 주어진 열플럭스 q를 식(1-4b)에 대입하면
지금까지의 해석은 일반적이며, 따라서 아직 특정의 좌표계를 지정할 필요가 없었다. 그러나 열전도방정식의 유도를 완성하기 위해서는 좌표축 x축에 따라 면적 A가 어떻게 변하는가를 고려할 필요가 있다. 따라서 직교, 원통 및 구좌표계를 차례로 고려한다.
* 직교 좌표계
면적 A는 x에 따라 변하지 않으며 일정하므로 상쇄될 수 있다. 따라서 식(1-5)는
로 된다. 이것은 직교좌표계로 나타낸 1차원, 비정상 열전도방정식이다.
* 원통 좌표계
원통 좌표계에서는 x대신에 반지름방향의 변수 r을 사용하는 것이 보통이다. 따라서 식(1-5)에서 x대신에 r을 대입하고 면적 A가 r에 비례하는 것을 생각하면 식(1-5)는
가 된다. 이것이 원통좌표계에서의 1차원, 비정상 열전도방정식이다.
* 구 좌표계
구좌표계에서도 x대신에 r을 반지름방향의 변수로 사용하는 것이 보통이다. 따라서 식(1-5)에서 x대신 r을 대입하고 면적 A가 r 에 비례하는 것을 생각하면 식(1-5)는
가 된다. 이것이 구좌표계에서의 1차원, 비정상 열전도방정식이다.
* 일반 방정식
식(1-6a)∼(1-6c)로 주어진 직교, 원통 및 구좌표계의 1차원 비정상 열전도방정식을 하나의 방정식으로 간편하게 쓸 수 있다.
여기서
또 직교좌표계에서는 r 변수를 x 변수로 대치하는 것이 보통이다.
* 특수 경우
식(1-7)의 몇 가지 특수한 경우가 실제로 유용하다.
열전도계수 k가 일정하면 식(1-7)은
과 같이 간단히 된다. 여기서
매체내에 에너지원이 있는 정상상태의 열전도에 대하여 식(1-7)은
로 되고, 열전도계수가 일정할 때에는 이 결과는
로 된다.
매질내에 에너지원이 없는 정상상태의 열전도의 경우에는 식(1-7)은
로 간단히 된다. 위의 식에서 n값은 앞에서 정의한 것과 같이
이며 직교좌표계에서는 보통 r대신에 x를 사용한다.
【예제 1-1】 매체내에서 일정한 율 g0W/㎥의 에너지 발생이 있고 열전도계수 k가 일정한 경우에 1차원, 정상상태의 열전도방정식을 써라.
(a) 평판, (b)원통, (c)구
【풀이】 결과는 식(1-9b)에서 직접 구할 수 있다.
(a) n=0, r x를 대입하면
(b) n=1을 대입하면
(c) n=2룰 대입하면
* 열확산 계수
열전도계수 k가 일정한 경우 비정상 열전도방정식은 식(1-8b)에서 정의된 열확산계수(thermal diffusivity)라고 부르는 양 를 포함한다. 의 물리적 의미를 설명하는 것은 도움이 된다. 표 1-1은 대표적 재료의 열확산계수를 나타낸다. 여러 가지 다른 재료의 열확산계수의 값은 매우 큰 차이가 있다. 예를 들면 값은 구리의 경우 114 10-6㎡/s에서 분쇄된 코르크의 경우 0.15 10-6㎡/s까지 변한다.
열확산계수의 물리적 의미는 시간에 따라 온도가 변하는 동안 매체내로 열이 전달되는 것과 관련되다. 열확산계수가 크면 클수록 매체내로 열은 더 빨리 전파된다. 예를 들면 x=0에서 x 까지의 반무한 매체를 생각해 보자. 최초에 균일한 온도 T?= 100 였으나 x=0의표면 온도가 갑자기 0 로 낮추어져서 그 온도로 유지된다고 하자. 고체 내부의 온도는 시간과 위치에 따라 계속적으로 변하게 된다. 표 1-2는 다른 열확산계수를 가진 몇 가지 재료에 대하여 경계면에서 30 ㎝ 위치에서 온도가 1/2 T?= 50 로 변하는 데 필요한 시간을 보여 준다. 이 표에서 열확산 계수가 클수록 고체내로 열이 침투하는 데 필요한 시간이 짧다는 것을 분명히 알 수 있다.
2 3차원 열전도방정식
1.1절에서는 1차원, 비정상 열전도방정식이 유도되었다. 3방향으로의 열전도를 허용하고 유사한 방법을 사용하면 일반적 방정식을 유도할 수 있다. 그러한 유도는 열전도에 관한 일반 서적에
주어져 있고 여기에서는 열전도계수가 일정한 경우에 대하여 직접 직교, 원통 및 구좌표계로 제공하다.
직교좌표계(x,y,z)에서 열전도방정식은
여기서 T=T(x,y,z,t)이다.
그림 1-2에서와 같은 원통좌표계(r, ,z)에서 열전도방정식은
로 주어지며, 여기서 T=T(r, , ,t)이다.
마지막으로 그림 2-3에서와 같은 구좌표계((r, , )에서 열전도방정식은
로 주어지며, 여기서 T=T(r, , ,T)이다.
온도가 시간과 하나의 공간좌표 r(직교좌표계에서는 x)에만 관계되는 특별한 경우에는 식(1-11a)∼(1-11c)는 식(1-8)로 간단히 된다. r
1 차원 열전도방정식을 유도하기 위하여 그림 1-1에서와 같은 좌표축 x에 수직한 면적 A를 갖고 두께가 x인 체적요소를 고려한다. 이 체적요소에 대한 에너지 균형은 다음과 같이 쓸 수 있다.
그림 1-1 일차원 열전도방정식을 유도하기 위한 부호
이 방정식의 각 항 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ은 다음에 설명하는 것처럼 구한다.
q를 x위치에서의 요소의 면적 A에서 양의 x방향으로의 열플럭스를 q라고 하자. 그러면 x위치에서 전도에 의해 표면 A를 통해 요소로 들어가는 열유동률은
라고 할 수 있다. 마찬가지로 위치 x+ x에서 전도에 의해 요소로부터 나가는 열유동률은
라고 쓸 수 있다. 그러면 전도에 의해 요소가 얻는 참 열취득률은 두 값의 차이
이다. 단위체적당 에너지 발생률이 g=g(x,t)이므로 체적이 A x인 요소내에서 발생되는 에너지 발생률은
이다.
시간에 따른 온도의 변화에 다라 생기는 체적요소의 내부에너지 증가율은
로 쓸 수 있다. 고체와 액체에 대하여는 Cp = Cu 이다. 식(1-3a)에서 (1-3c)에 있는 여러 가지 양은 다음과 같이 정의된다.
식(1-3a), (1-3b)를 식(1-2)에 대입하고, 그 결과를 다음 형태로 정리할 수 있다.
x 0일 때 좌변의 첫째 항은 도함수의 정의에 의하여 [Aq]를 x로 미분한 것이 되며, 식(1-4a)를
로 쓸 수 있다. 식(1-1)로 주어진 열플럭스 q를 식(1-4b)에 대입하면
지금까지의 해석은 일반적이며, 따라서 아직 특정의 좌표계를 지정할 필요가 없었다. 그러나 열전도방정식의 유도를 완성하기 위해서는 좌표축 x축에 따라 면적 A가 어떻게 변하는가를 고려할 필요가 있다. 따라서 직교, 원통 및 구좌표계를 차례로 고려한다.
* 직교 좌표계
면적 A는 x에 따라 변하지 않으며 일정하므로 상쇄될 수 있다. 따라서 식(1-5)는
로 된다. 이것은 직교좌표계로 나타낸 1차원, 비정상 열전도방정식이다.
* 원통 좌표계
원통 좌표계에서는 x대신에 반지름방향의 변수 r을 사용하는 것이 보통이다. 따라서 식(1-5)에서 x대신에 r을 대입하고 면적 A가 r에 비례하는 것을 생각하면 식(1-5)는
가 된다. 이것이 원통좌표계에서의 1차원, 비정상 열전도방정식이다.
* 구 좌표계
구좌표계에서도 x대신에 r을 반지름방향의 변수로 사용하는 것이 보통이다. 따라서 식(1-5)에서 x대신 r을 대입하고 면적 A가 r 에 비례하는 것을 생각하면 식(1-5)는
가 된다. 이것이 구좌표계에서의 1차원, 비정상 열전도방정식이다.
* 일반 방정식
식(1-6a)∼(1-6c)로 주어진 직교, 원통 및 구좌표계의 1차원 비정상 열전도방정식을 하나의 방정식으로 간편하게 쓸 수 있다.
여기서
또 직교좌표계에서는 r 변수를 x 변수로 대치하는 것이 보통이다.
* 특수 경우
식(1-7)의 몇 가지 특수한 경우가 실제로 유용하다.
열전도계수 k가 일정하면 식(1-7)은
과 같이 간단히 된다. 여기서
매체내에 에너지원이 있는 정상상태의 열전도에 대하여 식(1-7)은
로 되고, 열전도계수가 일정할 때에는 이 결과는
로 된다.
매질내에 에너지원이 없는 정상상태의 열전도의 경우에는 식(1-7)은
로 간단히 된다. 위의 식에서 n값은 앞에서 정의한 것과 같이
이며 직교좌표계에서는 보통 r대신에 x를 사용한다.
【예제 1-1】 매체내에서 일정한 율 g0W/㎥의 에너지 발생이 있고 열전도계수 k가 일정한 경우에 1차원, 정상상태의 열전도방정식을 써라.
(a) 평판, (b)원통, (c)구
【풀이】 결과는 식(1-9b)에서 직접 구할 수 있다.
(a) n=0, r x를 대입하면
(b) n=1을 대입하면
(c) n=2룰 대입하면
* 열확산 계수
열전도계수 k가 일정한 경우 비정상 열전도방정식은 식(1-8b)에서 정의된 열확산계수(thermal diffusivity)라고 부르는 양 를 포함한다. 의 물리적 의미를 설명하는 것은 도움이 된다. 표 1-1은 대표적 재료의 열확산계수를 나타낸다. 여러 가지 다른 재료의 열확산계수의 값은 매우 큰 차이가 있다. 예를 들면 값은 구리의 경우 114 10-6㎡/s에서 분쇄된 코르크의 경우 0.15 10-6㎡/s까지 변한다.
열확산계수의 물리적 의미는 시간에 따라 온도가 변하는 동안 매체내로 열이 전달되는 것과 관련되다. 열확산계수가 크면 클수록 매체내로 열은 더 빨리 전파된다. 예를 들면 x=0에서 x 까지의 반무한 매체를 생각해 보자. 최초에 균일한 온도 T?= 100 였으나 x=0의표면 온도가 갑자기 0 로 낮추어져서 그 온도로 유지된다고 하자. 고체 내부의 온도는 시간과 위치에 따라 계속적으로 변하게 된다. 표 1-2는 다른 열확산계수를 가진 몇 가지 재료에 대하여 경계면에서 30 ㎝ 위치에서 온도가 1/2 T?= 50 로 변하는 데 필요한 시간을 보여 준다. 이 표에서 열확산 계수가 클수록 고체내로 열이 침투하는 데 필요한 시간이 짧다는 것을 분명히 알 수 있다.
2 3차원 열전도방정식
1.1절에서는 1차원, 비정상 열전도방정식이 유도되었다. 3방향으로의 열전도를 허용하고 유사한 방법을 사용하면 일반적 방정식을 유도할 수 있다. 그러한 유도는 열전도에 관한 일반 서적에
주어져 있고 여기에서는 열전도계수가 일정한 경우에 대하여 직접 직교, 원통 및 구좌표계로 제공하다.
직교좌표계(x,y,z)에서 열전도방정식은
여기서 T=T(x,y,z,t)이다.
그림 1-2에서와 같은 원통좌표계(r, ,z)에서 열전도방정식은
로 주어지며, 여기서 T=T(r, , ,t)이다.
마지막으로 그림 2-3에서와 같은 구좌표계((r, , )에서 열전도방정식은
로 주어지며, 여기서 T=T(r, , ,T)이다.
온도가 시간과 하나의 공간좌표 r(직교좌표계에서는 x)에만 관계되는 특별한 경우에는 식(1-11a)∼(1-11c)는 식(1-8)로 간단히 된다. r
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