정상 전류의 자기장

목차

7-1 자기장과 로렌츠의 힘

7-2 비오-싸바르의 법칙

7-3 암페어의 법칙

7-4 자기 쌍극자에 작용하는 힘과 돌림힘

7-5 자기 벡터 퍼텐셜

7-6 자기 퍼텐셜의 전개와 자기쌍극자 모우멘트

본문내용

), 사중극자(quadrupole) 등으로 불린 항들이다.
[그림 7-8] 제한된 영역의 전류분포와 좌표
전류밀도를 전류로 나타내면 벡터 퍼텐셜은 다음과 같이 쓸 수 있다.
(7-39)
여기에서 은 칸터 를 따라가는 선분소 벡터로서, 그 선분소의 위치벡터의 변위벡터과 같으므로 으로 표기하자.
전류분포가 제한된 공간 영역에만 존재하면 이 벡터 퍼텐셜도 스칼라 퍼텐셜의 경우와 마찬가지로 다음 관계를 이용하여 전개할 수 있다.
(7-40)
이 전개는 인 조건이 만족될수록 더 유효해진다. 전류 가 흐르는 폐회로 도선이 공간의 한 영역에만 분포되어 있다고 하고 좌표계 원점을 전류밀도가 존재하는 영역 근처에 취하면, 관측점이 원점으로부터 충분히 멀리 떨어져 있을 때 이 가정은 유효하다. 이제 변수의 차수로 피적분항을 전개하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
(7-41)
폐회로를 일주하는 칸터의 선적분은 당연히 0 이다. 따라서스칼라 퍼텐셜 전개에서와는 달리 벡터 퍼텐셜에서는 단극자 항인 항이 없다. 이것은 자기장의 경우에는 자기력선을 내는 자기 전하가 없다는 사실과 관련이 있다. 두 번째 항은 에 비례하는 항으로 전기 쌍극자에 대응되는 자기 쌍극자항이라 할 수 있다.
한편
(7-42a)
(7-42b)
관계를 이용하여, 두번째 항 피적분항의 모양을 바꾸면 다음과 같이 쓸 수 있다.
(7-43)
이 식의 두 번째 항은 완전 적분의 꼴이므로, 어떤 폐회로에서 적분하던 그 값은 당연히 0 이 된다. 따라서 벡터 퍼텐셜을 항까지만 나타내면 다음과 같이 쓸 수 있다.
(7-44)
여기에서 은 앞에서 정의되었던 자기쌍극자 모멘트라 불리는 양이다. 이러한 벡터 퍼텐셜 근사는 좌표계 원점을 전류밀도 분포 근처에 취하고 관측점은 그로부터 충분히 먼 경우에 유효한 근사이다. 그러나, 전기 쌍극자의 경우에서와 마찬가지로 이 자기쌍극자는 좌표계 원점의 선택에 무관하게 일정한 값을 가짐을 보일 수 있다.
자기 벡터 퍼텐셜이 구해지면 자기장은 그것의 커얼을 취하면 구해진다. 예를 들어축을 향해 놓인 자기 쌍극자에 의한 자기장을 구해 보자. 이 경우 자기 모멘트는 로 나타낼 수 있으므로 벡터 퍼텐셜은 다음과 같다.
(7-45)
이 표현의 커얼을 취하여 얻는 자기장은 따라서 다음과 같다.
(7-46)
[그림 7-9] 자기 쌍극자의 자기장 그림
이 식은 전기 쌍극자에 의한 전기장과 정확하게 똑 같은 모양이다. 그림 7-9 는 자기 쌍극자에 의한 자기장을 나타내고 있으며 전기 쌍극자에 의한 전기장과 똑같은 모양임을 알 수 있다. 좌표계에 무관한 자기장의 표현도 쉽게 구해질 수 있으며, 이것도 역시 전기쌍극자의 경우와 똑같다.
(7-47)
즉, 당연한 사실이지만 어떤 폐회로 도선에 의한 자기장은 도선으로부터 충분히 먼 거리에서는 도선의 세부 형태에는 무관하며, 단지 그 폐회로가 만드는 자기쌍극자 모멘트만으로 표현된다. 이 자기장의 표현식이 전기쌍극자가 만드는 전기장의 표현식과 똑같은 모양임은 흥미로운 사실이다.
연습 문제
[ 7-1] 관계를 이용하여 벡터 퍼텐셜로부터 자기장의 표현을 유도하여라.
[ 7-2] 원형도선 전류에 의한 도선 중심축 위의 자기장은 축 성분만을 가지며, 그 크기는 앞의 예제에서 구하여졌다. 그 결과와 인 사실을 이용하여, 바닥면에 놓인 원형도선의 중심축위의 점에서 매우 가까운 점 자기장의 동경(radial) 성분을 구하여라.
[ 7-3] 헬름홀츠 코일
헬름홀츠 코일은 균일한 자기장을 쉽게 얻기 위해 흔히 쓰이는 코일이다. 이 코일은 반지름이 각각 로 같은 두 개의 원형구조 코일이 서로 나란하게 놓인 구조를 갖는다. 두 코일간의 간격이 라 할 때, (1) 중심축에서 두 코일에 의한 자기장의 극치를 갖는 점은 두 코일의 중간점, 즉, 한 코일로부터 떨어진 점임을 보여라. (2) 그 점에서 자기장의 테일러 전개식 제 2차 미분항까지 0 이 되는 조건이 되는 는 임을 보여라. 즉, 이러한 조건에서는 두 코일의 중간 위치 자기장은 매우 균일한 편이다.
[그림: 문제 3] 헬름홀츠 코일
[ 7-4] 어떤 도선에 흐르는 전류는 단위부피당 전하수가 이고, 속도가 이며, 전하량이 인 전하들의 이동에 의한 것이다. 도선의 반지름은이다. 도선에 작용하는 힘은 도선 내의 각 전하가 받는 자기력의 합과 같다고 할 때, 길이가 인 도선 부분에 작용하는 자기력은 로 나타낼 수 있음을 보여라.
[ 7-5] 각각 전류 이 흐르는 평행으로 놓인 두 무한 길이 도선이 서로 만큼 떨어져 있다. 이 두 도선은 서로 당김을 보이고, 길이가 인 부분이 받는 자기력 세기를 구하여라.
[ 7-6] 단면적 반지름이 인 도선에 균일한 전류밀도 로 전류가 흐르고 있다. 그러나 이 도선의 내부에는 단면적 반지름이 인 공동 부분이 있으며, 그 부분에는 전류가 흐르지 않는다. 공동 부분 내에서의 자기장 세기를 구하여라.
[그림: 문제 6] 공동이 있는 도선 단면
[ 7-7] 두 자기 쌍극자가 한 평면에 놓여 있다. 쌍극자 은 고정되어 있지만 쌍극자 는 자유로이 회전할 수 있다. 벡터 이 쌍극자 1에서 쌍극자 2 로 향하는 벡터이며, 두 쌍극자가 방향과 이루는 각을 각 라 할 때, 두 각 사이에는 관계가 있음을 보여라.
[ 7-8] 쏠레노이드에 의한 자기장이 그 내부와 외부에서 축 방향을 향한다 가정하자. (a) 이 경우 자기장은 내부와 외부 영역에서 각각 균일해야 함을 보여라. (b) 암페어의 법칙을 이용하여 외부에서의 자기장은 0 이 됨을 보여라. (c) 이와같은 가정에서 얻어지는 ‘내부에서는 자기장이 존재하고, 외부에서는 0 이 됨’의 결과는 옳지 않음을 보여라.
[ 7-9] 쏠레노이드에 의한 자기장에 관한 다음 사실들을 증명하라.
(1) 유한 길이 쏠레노이드가 있을 때, 그 중심축에서 자기장은 다음 관계를 만족한다. 즉, 중심축 가장자리 점의 자기장은 중심점 자기장의 약 1/2 이다.
(2) 가장자리 변을 지나는 자기력선은 단면에 평행으로 향한다.
(3) 가장자리 단면을 통과하는 자속은 중심점 부근 단면을 지나는 자속의 1/2 이다.
(4) 중심점 부근에서 중심축과 떨어진 자기력선은 가장자리에서는 만큼 떨어져 있다.

키워드

정상 전류의 자기장,   자기장과 로렌츠의 힘,   비오-싸바르의 법칙,   암페어의 법칙