부메랑의 Turn Motion 에 대한 역학적 분석 & 컴퓨터 시뮬레이션

목차

☞ 개요
Part I. Equations.

Part II. 부메랑 제작과 실험

Part III. Simulation in C

본문내용

적인 과정에 대한 역학적 이해가 가능하도록 할 것이다. 아울러 비선형(Nonlinear) 문제를 해결하는 여러 수학적 , 물리학적 skill 들도 함께 다루어 볼 것이다.
우리는 이러한 프로젝트를 다음과 같은 단계로 실행한다.
우선, 부메랑의 Motion 과 관련하여, 우리는 이러한 현상을 지배하고 있는 방정식들, 보다 정확히 말해서, 미분 방정식(Differential Equation) 들을 찾아낼 것이다. 자세히 살펴보면 알겠지만, 우리가 찾아낼 미분 방정식과 관련하여, 이 때 작용하는 자연현상의 중요한 물리학적 원리 두 가지, 즉 부메랑의 Flying Motion 과 관련있는 “양력” 과 Turn Motion 과 관계된 “세차운동” 에 대하여, 집중적으로 다루게 될 것이다.
다음 과정으로, 우리는 완성된 비선형 미분 방정식들에 대하여, 이 식들에 사용된 여러 가지 물리량들을 살펴보게 될 것이다. 아울러, 나름대로 고안된 계산방법이나 실험 등을 통하여 아직 결정되어 있지 않은 상수들을, 결정하는 작업도 함께 이루어질 것이다. 실험의 모든 과정은, 손수 제작된 부메랑으로 이루어질 것이며, 실험 절차나 부메랑 제작에 관련된 정보 역시 모두 공개될 것이다.
마지막으로 우리는 완성된 미분방정식들과 위에서 결정된 상수 및 물리량들을 가지고, 식들과 다른 조건들을 만족하는 적절한 수치 해석의 방법을 사용하여, 시간에 따른 부메랑의 궤적을 컴퓨터를 통해 3차원으로 구현할 것이다. 이 프로그램은 C언어를 사용하여 제작될 것이다.
Part I. Equations.
미분 방정식을 완성하기 위해 우리는 우선 다음과 같이 가정한다.
1 . 부메랑은 강체(rigid body)로 정의한다.
2 . 부메랑의 무게중심(Center of Mass : 이하 CM)은 의 속도로 병진 운동 한다.
3 . 부메랑은 무게중심을 지나는 축으로 의 접선속도를 가지고 회전 운동한다.
위와 같은 가정아래, 아래와 같은 과정의 아이디어로, 이 문제를 해결해 보려고 한다.
1. 특정 시간 에 결정된 부메랑의 와 에 관련하여, 의 미분방정식을 완성.
2. 특정 시간 에 결정된 부메랑의 와 관련하여, 부메랑의 CM에 작용하는 힘들을 조사하여 의 미분방정식을 완성.
3. 위의 1단계와 2단계의 순차적인 순환관계에 의해 부메랑의 위치 x,y,z 를 결정.
따라서 위와 같은 접근 방법으로 세운 방정식들은 다음과 같다.
1. 회전운동에 관한 방정식들.
그림 1
---- 식 1-1a.
---- 식 1-1b.
그림 2 그림 3
위의 그림과 같은 세차운동과 관련하여, 구한 두 개의 방정식들!
그림 1-2와 관련하여.
---- 식 1-2
그림 1-3과 관련하여.
---- 식 1-3.
: 부메랑의 단면으로 각각 위, 아래로 이동하는 공기의 속도
: 윗부분의 공기 중, 앞부분(선단)과 뒷부분(후단)의 공기 속도.
2 . 병진운동에 관한 방정식들.
그림 4
= i + j + k
( , , 를 각각 Drag force , Shift force , Lift force 라고 정의한다. )
( Drag force ) =
( Shift force ) =
( Lift force ) =
위와 같은 각각의 성분들의 미분방정식들에 의해 x , y , z 의 값을 찾아내어 우리는 부메랑의 특정 시간 t에 대한 위치 정보를 알 수 있다.
: ---- 식 2a.
( )
: ---- 식 2b.
( )
: ---- 식 2c.
( )
: Drag force , : Shift force , : Lift force
: n축 방향의 저항력
* 각 방향의 저항력은 로 표현되며, 은 n축 방향의 저항계수이다.
Part II. 부메랑 제작과 실험
부메랑 설계도.
그림 5
부메랑은 위의 설계도대로 만든다. 위의 부메랑은 오른손 잡이용 부메랑이며, 왼손으로 던지는 부메랑을 만드려면 위의 부메랑을 뒤집어 만들면 된다. 중요한 것은 날개 밑면은 처음 그대로 살아 있어야 한다. 즉 모든 다듬기 작업은 날개 윗면에서만 이루어져야 한다.
우리는 고안된 실험 혹은 계산등을 통하여, Equation 들의, 아래와 같은 상수들을 결정해 준다.
: 부메랑을 향해 오는 공기중, 위로 올라가는 공기의 속도에 대한 상수.
( 즉, )
:부메랑을 향해 오는 공기중, 아래로 가는 공기의 속도에 대한 상수.
( 즉, )
: 앞쪽(날개 선단부)의 공기속도에 대한 상수.
( 즉, )
:뒤쪽(날개 후단부)의 공기속도에 대한 상수.
( 즉 )
: 공기의 x , y , z 의 각 방향에 대한 공기의 저항계수.
Part III. Simulation in C
위에서 결정된 식들과 상수들을 바탕으로 우리는 C 언어를 사용하여, 부메랑의 시간에 따른 궤적을 시뮬레이션 한다. 우선 시뮬레이션을 하는 과정에서, 계산해야하는 복잡한 적분과 각 회전축에 대한 관성모멘트의 계산을 최대한 간단히 하기 위해서, 우리는 프로그래밍 하는 과정에서 다음과 같은 부메랑 모형을 사용한다.
그림 6
따라서 위의 그림과 같이 각 회전축에 대한 관성모멘트를 측정하고 위의 Part II에서 결정된 상수들을 바탕으로 식에 따른 부메랑의 변수들을 순차적으로( 부메랑의 z 좌표가 0이 될 때까지의 Iteration) 결정해 나가며, 부메랑의 움직임을 추적해 나간다. 미분방정식의 수치해석은 일반적으로 가장 잘 알려진 Runge-Kutta Method 를 사용하였다.
프로그래밍 결과와 그래프.
초기치 :
theta 60 deg , phi 30 deg
Vc_x 20m/s , Vc_y 20m/s , Vc_z 10m/s , Vs 5m/s
x = 0m , y = 0m , z = 30m
x 축 - y 축
그림 7
x 축 - z 축
그림 8
x 축과 y 축의 그래프를 보면 때, 즉 아주 높은 곳에서 부메랑이 나는 모습을 내려다 보았을 때, 부메랑이 돌아오는 모습을 아주 명확하게 확인할 수 있다. 초기치의 z를 30m 로 준 것은 부메랑의 돌아오는 모습을 보다 명확히 확인하기 위해서이다.
실제로 우리가 만든 부메랑에서도, 부메랑이 돌아오기 채 전에 땅에 떨어져 버렸으므로, 높은 곳에서 날려, 위와 같은 부메랑의 궤적을 확인할 수 있었다.

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부메랑,   Turn Motion,   역학적 분석,   컴퓨터 시뮬레이션