폴리아의 4단계를 이용한 문제해결

소개글

폴리아의 4단계를 이용한 문제해결에 대한 보고서 자료입니다.

목차

* 폴리아의 4단계
문제1

문제2

문제3

본문내용

보면 나중에 가서 실수해서 문제를 틀릴 때가 많지요. 지금과 같은 피타고라스의 정리를 사용해서 풀 경우에 방법을 알아내고 아이디어를 짜는 것도 중요하지만 마지막에 제곱을 풀어주어 끝마무리까지 지어 의 값이 아닌 현 의 값을 구해주는 것이 중요하다. 알겠지?
학생 : 네.
Question 3. 한 변의 길이가 1인 정사각형이 있다. 이것을 아래그림과 같이 아홉 등분하여 중앙의 정사각형을 제거하고 나머지 정사각형을 다시 위와 같이 아홉 등분하여 정사각형을 제거한다. 이 과정을 무한 번 반복하였을 때 제거된 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.
교사 : 미지수는 무엇인가?
학생 : 무한 번 반복되는 정사각형의 넓이의 합입니다.
교사 : 데이터는 무엇인가?
학생 : 정사각형을 아홉 번 등분하고 중앙의 정사각형을 제거하고 나머지 정사각형을 다시 아홉 번 등분하여 각 중앙의 정사각형을 제거하는 과정입니다.
교사 : 조건은 무엇인가?
학생 : 한 변의 길이가 1인 정사각형입니다.
교사 : 문제를 쉽게 이해하기 위해서는 어떤 방법으로 접근하는 것이 좋을까?
학생 : 그림을 이용해서 풀면 됩니다.
교사 : 그럼 그림을 그려보자 위 그림은 한 번일 때니까 두 번했을 때를 그려보자.
학생 : 네.
교사 : 그림을 그려보니 어떠니?
학생 : 계속 그리다보면 힘들 것 같아요.
교사 : 그래 이 문제는 그림으로 쉽게 풀 수 있는 방법이 아니란다. 식의 패턴을 연구해서 문제에서 우리가 찾아야 할 아이디어를 얘기해 보자. 무한 번 반복한다면 두 번, 세 번, 네 번, … 이런 식으로 계속하는 것을 얘기한다. 그렇지?
학생 : 네.
교사 : 이 과정을 유한으로 바꾸어 보아 생각해보자. 한 번 반복하면 어떻게 될까?
학생 : 제거되는 사각형의 한 변의 길이가 이니까 이 됩니다.
교사 : 잘했다. 두 번 반복했을 때 제거 되는 정사각형은 몇 개이지?
학생 : 8개입니다.
교사 : 그래. 그럼 두 번 반복했을 때의 정사각형의 넓이는?
학생 : 제거되는 사각형의 한 변의 길이가 이니까 이 됩니다.
교사 : 이런 식으로 계속 하다보면 규칙과 반복이 되겠지? 두 번 반복했을 때는 다음과 같이 이라고 적어도 되겠다. 이 식을 보니 어떤 아이디어가 생각나니?
학생 : 식에서 패턴이 있습니다.
교사 : 이러한 규칙을 찾았구나. 이러한 규칙들을 보면서 어떤 해결방법을 얻었니?
학생 : 이것을 무한 번 반복한다면 규칙적인 것을 이용해서 무한등비수열을 이용해서 풀면 됩니다.
교사 : 그럼 저런 패턴을 보고 미지수를 구할 수 있겠구나?
학생 : 네. 저 식을 이용해서 풀어보면
입니다.
그래서 무한 번 반복되어 제거된 정사각형의 넓이의 합은 1이 됩니다.
교사 : 그래. 잘했다. 이러한 문제는 한 번, 두 번, 세 번 반복해서 그 식들의 규칙을 찾아내어 풀면 보다 쉽고 좋은 아이디어를 얻을 수가 있단다. 아까 처음에 너희들이 얘기했던 그림을 이용한다면 나중에는 그림이 온통 새카맣게 되겠지. 그래서 위 식과 같이 우리의 결과 값이 1이 나온 것이란다. 마지막으로 그림을 보고 마치도록하자.

키워드

폴리아의 4단계,   문제해결,   수학적 문제해결,   수학문제해결론