한붓그리기

목차

Ⅰ. 서론

Ⅱ. 본론
1. 오일러는 어떤 사람인가??
2. 한붓그리기란??
☞ 한붓그리기가 가능한 도형
3. 한붓그리기의 예
☞ 1번. 편지 배달하기
☞ 2번. 다리 7개에 관한 문제
☞ 3번. 사통팔달
☞ 4번. 아라베스크 문양

Ⅲ. 결론 - 요약․정리
1. 한붓그리기
2. 꼭지점과 변으로 이루어진 도형의 성질

본문내용

합니다. 그러나 아무리 하여도 그 염원을 실현 할 수 없습니다. 어떻게 건너야 하겠습니까? 이것이 유명한 쾨니히스베르그의 다리 7개에 관한 문제입니다. 호기심이 많은 어떤 사람이 이 문제를 당시의 대수학자 오일러에게 물었습니다. 오일러는 잠깐 생각하더니 한 번 건넌 다리를 다시 건너지 않고 이 다리 7개를 다 건넌다는 것은 불가능하다는 결론을 내렸습니다.
여러분은 오일러가 어떤 이유에 의해 이 결론을 내렸는지 알 수 있겠습니까?
답: 만일 작은 섬은 점A로, 강 안은 각각 점 B, C, D로 표시하고, 다리는 두 점을 연결한 선으로 표시한다면 그림을 한 번에 펴지 않고 그릴 수 없다는 것이 뻔합니다. 다시 말해서 이 7개의 다리를 한 개도 중복하지 않고 건널 수는 없습니다.
☞ 3번. 사통팔달
아래 그림은 어느 전람관의 평면도인데 칸마다 밖으로 통하는 문이 하나씩 있고, 연결된 두 칸 사이에는 문이 하나씩 있습니다. 어떻게 가야 한 번 지나간 문을 다시 지나지 않고 문마다 다 지나겠습니까?
그거야 몇 번 해보면 쉽게 풀릴 문제가 아니가 하고 여러분은 생각할 것입니다. 그렇지만 사통팔달한 전람관 안팎을 몇번 돌고 나면 결코 쉬운 일이 아니라는 것을 바로 알 수 있을 것입니다.
사실상 한 번 자나간 문을 다시 지나지 않고 문마다 다 지나 갈 수는 없습니다.
믿고 안 믿고는 여러분에게 다려 있습니다. 그러나 많은 시간을 허비하면서 가능하리라고 여겨지는 길을 다 걸어 보기보다 시간을 조금 들여 그 불가능성을 증명하는 것이 나을 것입니다.
문을 하나만 닫으면 이것은 쉽게 풀릴 수 있습니다. 어느 문을 닫아야 하겠습니까?
답: 점 A, B, C, D, E로 각 방을 표시하고 점 F로 바깥을 표시한 다음 각 문은 대응하는 두 점을 연결한 선으로 표시합니다. 그러면 이 문제는 오른쪽 그림을 한 번에 띄지 낳고 그리는 문제로 바뀌게 됩니다. 그림에서 보면 C, D, E, F는 다 홀수 분기점이므로 이 그림은 한 번에 그릴 수 없습니다. 다시 말하면 한번 지난 문을 다시 지나지 않는다는 것은 불가능합니다.
그러나 C와 D 사이의 문만 닫으면 홀수 분기점이 2개(E, F)가 되므로 이 그림은 한 번에 그릴 수 있습니다. 다시 말하면 각각의 문을 다시 지나지 않고 지날 수 있습니다. 이 때 E
(혹은 F)를 기점(또는 종점)으로 하여야 합니다.
물론 D와 E사이의 문, E와 F사이의 문, C와 F사이의 문, D와 F사이의 문 중에서 한 문을 닫아도 됩니다. 그러나 만일 A와 F사이의 문을 닫았다면 여전히 불가능합니다.
☞ 4번. 아라베스크 문양
한붓그리기의 최후를 장식하기 위해서, 여기 아라베스크 문양을 그리는 문제를 낸다(아라비아의 예술가들은 복잡한 장식용 문양에 매우 뛰어나다). 이 도형을 위에서와 똑같은 조건, 즉 연필을 떼지 말고 같은 선을 두 번 지나지 않은 조건에서 그리는 것이 문제다.
(교점에 교차하는 선의 수가 홀수가 아니라면 가능하다. 이 도형 위에 투명지를 놓고 그려 보는 것이 편할 것이다.)
답: 이 아라베스크 문양은 두 폐곡선으로 이루어져 있다. 두 폐곡선은 아래 그림에 작은 원으로 표시한 것처럼 24번 만난다.
어느 점에서 시작해도 한붓그리기가 가능하다. 단 (왼쪽 화살표가 가리키는 교점처럼) 원으로 표시된 교점에서 교차하지 않고 하나의 폐곡선을 계속 그리기만 하면 된다. 출발점에 되돌아오면 마찬가지 방식으로 다른 폐곡선을 그린다. 그래서 다시 출발점에 돌아오면 이중의 폐곡선으로 된 도형이 완성된다.
Ⅲ. 결론 - 요약정리
1. 한붓그리기
(1) 꼭지점과 변으로 이루어진 도형에서 한 점에 연결된 선의 개수가 짝수일 때에 그 점 을 짝수점, 홀수일 때에는 홀수점이라고 한다.
(2) 꼭지점과 변으로 이루어진 도형을 연필을 떼지 않고, 어떤선도 한 번만 지나도록 그리 는 것을 한붓그리기라고 한다.
2. 꼭지점과 변으로 이루어진 도형의 성질
(1) 홀수점의 개수는 항상 0 또는 짝수개이다.
(2) 홀수점의 개수가 0 또는 2일 때에만 한붓그리기가 가능하다.
(3) 홀수점이 없는 도형은 어떤 꼭지점에서 출발해도 그 출발점에서 끝나는 한붓그리기가 가능하다.
(4) 홀수점이 2개인 도형에서 한붓그리기를 할 때, 두 홀수점은 각각 출발전과 도착점이 된다.
※ 참고 문헌
만화로 배우는 교실밖의 수학 ⑥ 도형2 <동아출판사>
신나는 수학 놀이마당 <최승범 엮음, 도처출판 世和>
아무도 풀지 못한 문제 <박영훈 지음, 지호>
수의 비밀 <앙드레 주에트 지음, 이지북>

키워드

한붓그리기,   오일러,   수학