확률교육의 기초

본문내용

흔든 후 공 두 개를 차례로 비복원 추출할 때,
① 첫 번째 공이 흰공일 때, 두 번째 공이 흰공일 확률
② 두 번째 공이 흰공일 때, 첫 번째 공이 흰공일 확률
이 경우 ①번 문제의 해답은 대부분의 학생이 맞추었으나, ②번의 경우는 정답율이 50%정도였다.
조건부확률 예) 세 개의 문이 있는데, 그 가운데 한 개의 문 뒤에 상품이 놓여있다. 임의로 한 개의 문을 선택하여라. 선택이 끝나면 나머지 두 개의 문 가운데 상품이 없는 한 개의 문을 열어 보인다. 처음 문을 고수할 것인지 열리지 않은 나머지 문을 선택할 것인지를 결정하여라.
라. 통계적 추정
아동들은 대부분의 동전던지기나, 주머니 문제에서 표본공간의 원소가 2개이므로 이전의 몇가지의 시행에 관계없이 한 사건이 일어날 확률이 라는 강한 가정을 하게 되지만, 이것은 무작위성과 통계적 추론의 인식이 매우 빈약하고 연령에 따른 진보가 거의 나타나지 않음을 보여주고 있다. 여기에 대한 표준적인 풀이 전략은 더 많은 표본에 대한 정보를 수집하여 확률을 신뢰구간에 의해 추정하거나 확률이 이라는 가설에 대한 검정을 하여 이를 수용하거나 기각하는 것이다.
마. 개인 특유의 개인적인 판단전락과 오개념 형성의 예
뺑소니 택시문제 예) 초론색 택시가 85%이고, 푸른색 택시가 15%인 어느 도시에서 뺑소니 택시 사건이 일어났다. 그런데 한 목격자가 뺑소니 택시는 푸른색 택시라고 증언하였다. 그 목격자의 진술의 타당성을 알아보기 위하여 유사한 상황 조건에서 검사를 행한 결과 그 목격자가 택시의 색을 바르게 구별할 수 있는 확률은 85%임이 확인되었다. 여기서 뺑소니 택시가 푸른색 택시일 확률은?
이 경우는 체계인적인 확률교육을 받지 않으면, 개인 특유의 개인적인 판단전락과 오개념 형성될 수 있다는 예이다.
확률적 판단과 오개념은 인간의 주관적인 신념에 기인하는 특성이기 때문에 쉽게 수정되기 어려운 것이다. 이러한 입장에서 보면 학생들에게 일방적으로 형식적인 확률 계산법을 설명하는 데 그치면 확률적 사고의 발달을 기대하기 어려울 것이다. 학생들의 확률적 경험과 그들이 구사하는 판단 전략과 오개념을 스스로 드러내게 하여 그 문제점을 반성하게 하고 토론을 통하여 조정하도록 이끌어 주는 것이 바람직할 것이다.
7. 확률교육과정
확률적 사고가 애매한 것은 확률적 지식 이면에 개재되는 주관적인 판단 때문이며 이를 무시하고 확률 현상을 객관적인 지식으로만 다루려고 하기 때문이다 따라서 직관, 전개념, 심상의 점전직인 발달과 같은 주관적인 경험 영역의 단계적인 능동적인 재구성 과정이 필요하다.
현재 학교 수학의 확률 교재는 고전적 관점을 중핵으로 하여 전개되면서 도수적 관점이 간단히 다루어지고 있고, 구조적 관점이 확률의 기본 성질로 다루어지고 있지만, 실세계 확률 문제를 해결하는 조합론적인 공식 암기가 핵심이 되어있고, 불확정인 확률적 상황을 다루는 확률적인 특성이 왜곡되기 쉽게 구성되어 있다.
이에 아동들이 소박하게 인식하고 있는 불확실성에 대한 판단으로 시작하여 수학적 모델로 도입하여 그러한 판단을 비판적으로 고찰하는 절차를 밟는 것이 바람직하다. 또한 컴퓨터 등을 통한 모의 실험을 통하여 학교안에서 배운 내용을 실세계 문제에 적용하여, 실제로 흥미 있는 실세계 문맥속에서 확률을 지도해야 한다.
또한 NCTM에서 아동의 발달 단계별로 다음과 같이 교육과정을 편성하여 지도할 것을 권고하고 있다.
(Pre~K2)
어떤 사건의 발생 가능성에 관한 질문에 관한 대답(그럴 가능성이 많은, 그럴 가능성이 적은)은 이 시기에 시작한다. 어린아이들은 불가능한 사건에 대해서 생각하기를 즐기며, 이러한 사건은 그들이 읽는 책을 통해서 접하게 된다. 그럴 가능성이 많거나 적은 사건들에 관한 의문들은 학생들의 경험을 통해서 하게 되며, 그에 대한 답은 주로 그들이 거주하고 있는 지역에 따라 다르다. 이 시기에 비율의 개념을 모르기 때문에 확률을 수로 생각하는 것이나, 실험적 확률을 의미 있게 해석하는 것도 어렵고 적절하지 않다. 이 시기에는 실험적 확률을 다른 영역을 강화시키는 놀이식의 활동으로 도입할 수 있지만, 정확한 확률적인 계산은 학년이 오른 후에 하게 된다.
(3~5학년)
이 시기의 학생들은 자료 분석의 몇 가지 비판적 기능을 개발한다. 이 수준에서는 자료 분석이 하나의 용기가 되는 바, 그 안에서 재미있고 중요한 질문을 조사하게 된다. 학생들은 자료 표상의 레파토리를 확장하고, 자료를 기술하고 요약하는데 도움을 주는 통계적 측도에 관해 학습하고, 자료 집합을 비교하고, 확률에 관한 그들의 비형식적 관념을 토론하는데 필요한 언어를 개발한다.
(9~12학년)
확률은 대부분의 사람들의 직관에 반하는 것이다. 확률적 추론은 학생들이 그 개념을 능숙하게 하기 위하여 확실하게 전달될 필요가 있다. 학생들은 시뮬레이션과 경험적 자료수집으로부터 나온 결론과 비교하여 자신의 직관을 테스트해 볼 필요가 있다. 그들은 확률적 상황에 직면했을 때, 자기 자신의 첫 번째 직감을 믿기보다는 깊게 사고하려는 경향을 발전시킬 필요가 있다.
이 시기의 학생들은 이전에 있었던 자신들의 비공식적인 가능성에 대한 작업들 위에서 출발하였다. 그들이 수를 세고 비율을 계산함으로써 확률을 찾아내었던 실험들은 그들이 표본 공간의 개념과 표본공간의 점들의 집합으로서의 사건들의 개념을 이해하는데 도움을 준다. 고등학생들은 독립사건과 조건적 확률을 포함한 사건의 조합에 따라 확률을 계산해내는 방법에 대한 이해를 발전시키기 시작할 수 있다.
참고문헌
우정호, “학교수학의 교육적 기초” : 서울대학교출판부, 1998
이석훈, 김응환, “통계와 확률 지도론” : 경문사, 1999
성내경, “정보시대 그리고 통계” : 이화여자대학교출판부1997
NCTM , “Principles and Standards for School MAthematics:Discussion Draft”, 1998
이경화, “확률 개념의 교수학적 변화에 관한 연구, 서울대학교 대학원 박사학위 논문, 1996
김창길, “컴퓨터 시물레이션을 이용한 확률 단원 학습에 대한 연구, 강원대학교 교육대학원 석사학위 논문, 1998

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확률,   확률교육,   학교수학,   통계