학교 수학교육의 기초

소개글

학교 수학교육의 기초에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1 장. 수학교육의 주요 문제

주목해야 될 사항.

2장. 수학적 사고 능력의 개발.

1. 수학적 사고 능력(NCTM)

2. 수학적 사고의 도야.

3장. 수학사와 수학-학습 지도

1. 수학 교육과정과 수학사

3. 문화, 문명에 대한 수학

4. 역사 발생적 원리

4장. 수학 문제 해결 교육.

1. 문제해결 교육 운동

2. 수학적 발견술 연구의 역사

3. Polya의 문제해결 교육론

4. 문제해결 교육론의 심리학적 배경

5. 사고 패턴의 중요성.

6. 관찰과 귀납

7. 일반화, 특수화, 유추

8. 문제해결 지도상의 유의점

제 5장. 집합과 논리.

1. 집합

2. 논리.

6 장. 수 개념 지도.

1. 자연수 개념의 심리적 발생.

2. 수 개념의 교육적 기초에 대한 Freudenthal의 분석.

3. 정수의 지도

4. 유리수와 실수의 개념.

7장. 대수 교재의 기초

1. 대수적 언어

2. 문자식의 지도

3. 변수개념의 지도

4. 비와 비례관계의 교수 현상학적 분석.

8장. 기하교육의 문제

1. 기하교육의 문제점

2. Euclid 기하의 지도.

3. 기하학의 대수적 접근

4. 변환기하의 지도.

5. 기하학적 사고와 기하학

9장. 증명지도

1. Euclid 기하 교육과 증명지도

2. 형식적 정밀성과 증명의 구성.

3. 학생들의 증명능력

4. 증명 지도 방향

10 장. 함수적 사고 교육

1. 함수 개념 (책 참고)

2. 함수 개념의 역사적 발생

3. 함수개념의 심리적 발생.

4. 함수 개념의 지도

11 장. 미적분지도

1. 미적분지도 방법

2. 미적분의 무한소 접근 방법.

3. 수학교사를 위해 미적분학 교재의 역사발생적 전개.

4. 미적분학 대 이산수학

5. 미적분지도의 방향

12장. 확률 교육의 기초

1. 확률개념의 역사 발생적 배경

2. 확률 개념의 수학적 배경과 패러독스

3. 확률 개념의 이해.

4. 확률교육과정

5. 확률지도에서의 computer의 이용.

본문내용

리‘라는 모호한 조건으로 인해 많은 패러독스가 나와 정당화되지는 못하였다. 그에 반해 ’도수적 관점‘이라는 것이 나왔는데 이는 실제의 경험으로 인해 정당화시키거나 다른 상황에서도 같은 경우가 발생되었을 때의 확률을 얘기한다.
예를 들어, 주사기 한 개를 던져 6의 눈이 나오는 경우의 확률을 고전적 관점으로 나올 수 있는 각 경우가 같다고 가정하면 , 도수적 관점은 수많은 시행 결과 확률을 정하거나 다른 주사위로 한 실험에서 이었기 때문에, 같은 값을 할당한다. 이런 두 관점을 실생활의 문제에 적용시키면서 확률의 올바른 이해와 그 의미를 깨닫도록 해야 되겠다.
2. 확률 개념의 수학적 배경과 패러독스
고전적 정의의 Laplace 시행은 원천적인 문제점이 있으며, 학생들에게 많은 갈등을 야기한다. [상금분할문제]는 4:3인 경우에서 중지된 game 에서의 상금을 어떻게 분할하느냐? 하는 것인데, ‘서로 독립적인 가능한 모든 경우에서 각 경우가 일어날 가능성이 같다’는 전제를 적용하기 위해서는 5:3 일 때 끝나는 game 이지만 을 시행하는 것으로 직관적으로 받아들이기가 싶지 않다. 그리고, 무작위성을 가능한 경우의 동확률성으로 환원하는 것은 다음의 ‘Bertrand의 현’ 과 ‘도서관 문제’에서 모순을 보여준다.
Bertrand 의 현
“반지름 R인 원에 내접하게 정삼각형을 그리고 그 원을 지나
도록 한 직선을 무작위로 그릴 때, 현의 길이 s 가 삼각형의
한 변의 길이 a 보다 길어질 확률은 얼마인가?”
풀이 1. I 구간 속에서 움직일 때와 I 밖에서 움직일 때,
풀이 2. 정삼각형 속에 내접하는 원을 그리면
이며, 현의 중점 M 이 원 속에
있을 때 a 보다 길어진다.
풀이 3.
“도서관 문제”
“어떤 대학 도서관에서 무작위로 책을 한 권 뽑을 때, 그 책이 영어로 쓰여진 책일 확 률은 얼마인가?”
풀이 1) 전체 책 T(1000), 영어 책 E(500)
풀이 2) 도서관에 두 개의 서고가 있고 각각에 대한 책이
으로서 각 계산값이 다르므로 ‘무작위로’라는 말에 문제가 있다는 것이다.
3. 확률 개념의 이해.
확률의 이러한 애매모호한 특성 때문에 학습지도시 어려움이 야기된다. 확률현상은 문제상황의 산술적인 면의 객관적 측면과 기상학, 경제학, 의학 등의 경험과학에서의 경험요소도 사용되며, 일상생활에서의 주관적인 판단을 드러내는 경우가 있는데, 산술적인 면만을 학습시키는 현 교육에는 확률적 사고능력개발에 많은 문제점을 주고 있다. 하지만, 그런 여러 측면의 교육을 할 수 있는 경험이 어렵다는 것이 관건이다.
확률의 본질을 이해시키기 위해서, 확률개념의 특성을 보다 폭넓고 구체적으로 논의하는 과정을 통해서 확률적 사고의 오류를 수정하고 다각적인 의미가 자연스럽게 파악되도록 해야 할 것이다.
표본공간, 대칭성, 도수적 관점, 독립성과 종속성, 통계적 추정 등 확률적 사고의 특성과 확률직관과도 관계를 살펴보면, 확률의 도수적 해석과 직관에서 아들과 딸이 태어날 확률이 로 같다고 할 때, 6명의 신생아 성별에 대해서 (a) BGGBGB (b) BBBBGB
(c) ‘두 경우 확률이 대략 같다.’를 학생들은 (a) 로 생각한다.
그러나, 확률적으로 (a) 나 (b) 나 로 같은 (c) 가 옳다.
또다른 예는
‘냄비 속의 검은 공 2개 흰 공 2개가 있을 때 비복원추출시 두 번째 공이 흰 공이고 첫 번째 공을 모를 때, 첫 번째 공이 흰 공일 확률은?’
의 질문에 직관적으로는 두 번째 공은 첫 번째 공에 아무 영향을 미치지 않으므로 이라고 대답한다. 그러나, 조건부확률 이다.
따라서, 논리적, 인과적, 확률적 순서로 사고를 하는 듯 하다. 직관적으로,
즉,
이러한 확률 문제에 대한 확률적 판단과 오개념은 주관적인 신념에 기인하는 특성이기 때문에 쉽게 수정되기 어렵다. 따라서, 형식적인 확률 계산법을 가르치는 교육에서 확률적 사고와 토론, 논의를 통한 오개념과 판단전략을 스스로 깨우치게 하는 것이 무엇보다 중요하다.
4. 확률교육과정
확률적 사고가 애매한 것은 확률적 지식 이전에 존재하는 주관적인 판단과 그런 확률을 객관적으로 나타내려는 의도에서의 차이 때문에 발생한다. 현 교육과정의 방해되는 요소라고 하면 배운 내용을 실제 생활장면으로 작용하지 못하는데 있다. 교육과정구성에서 고려되어야 할 주요사항은 학생의 준비성, 학습가능성, 적용가능성, 흥미, 동기유발의 교재의 적절성이지만, 교재의 접근방법 또한 무엇보다도 중요하다. 확률의 학습시 초등이나 중등은 실험이나 직관을 통한 교육이 주가 되고, 고등학교이상에서는 수학적인, 형식적인 관계(Laplace식 확률 개념 도입)를 교육시키는 것이 중요하다.
확률의 발전을 살펴보면, 직관에 의한 내용과 경험적인 적용, 그리고 수학적인 기술사이의 관계에서 발전해 왔기 때문에 확률의 교육도 그런 식으로 이루어져야만 자연스럽고 좋은 교육이 될 것이다. 따라서, 교재도 고전적 관점과 도수적 관점, 주관적 관점은 문제 상황에 따라 선택적으로 적용하면서 확률의 의미를 살려낼 수 있는 것이어야 되겠다. 학생들도 주관적 관점을 바탕으로 불합리한 판단을 실험이나, 수학적인 관계를 통해 자신의 잘못된 판단을 고쳐 나아가는 것이 중요하다.
이런 두 가지 실제와 이론의 교육에서 초기 확률 도입 시에 적용하는 적당한 example을 소개한다.
‘ 2 와 12 까지의 수가 적힌 말판에서 좋아하는 수에 자신의 말을 올려놓고, 두 개의 주사위를 던져 그 합이 자신의 말이 놓인 수와 같을 때, 1칸씩 이동한다. 먼저, 10칸 이동한 사람이 승리 !! ’
처음 말판 위에서 선택하는 숫자와는 어떤 관계가 있는지 생각한다.
5. 확률지도에서의 computer의 이용.
단순히 주사위를 100번 던진다든지, 정규분포나 이항분포의 복잡한 계산과 그 결과를 한 눈에 함수적 graph를 computer 도입 없이 행한다는 것은 인력과 시간적 손실이 너무나도 크다. 그래서, 확률에서의 computer 도입은 반드시 필요한 것이다.
즉, 이론적인 연구와 실험적인 연구를 빠르게 결합시킬 수 있으며, 다양한 표본과 실험대상에 대한 변화의 결과를 쉽게 확인 할 수 있다.

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수학,   교육학,   수학교육학