(수학의이해A형)1. 고대 그리스 수학에서 피타고라스학파가 역사의 무대에서 사라지게 된 이유, 2. 르네상스 시대에 수학을 비롯한 자연과학 발전동기, 3. 피타고라스 정리 증명, 4. 3차방정식 증명

소개글

(수학의이해A형)1. 고대 그리스 수학에서 피타고라스학파가 역사의 무대에서 사라지게 된 이유, 2. 르네상스 시대에 수학을 비롯한 자연과학 발전동기, 3. 피타고라스 정리 증명, 4. 3차방정식 증명에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 고대 그리스 수학에서 피타고라스학파가 역사의 무대에서 사라지게 되는 중요한 이유를 간략히 서술

2. 르네상스 시대에 수학을 비롯한 자연과학이 발전하게 되는 중요한 동기 2가지를 서술

3. 피타고라스 정리를 각자 독특한 방법을 사용하여 증명
1) 피타고라스 정리
2) 피타고라스 정리의 역
3) 피타고라스 정리의 증명
(1) 비례에 의한 방법
(2) 유클리드 증명방법을 통한 증명
(3) 바스카라 증명방법
(4) 호킨스 증명방법
(5) 서톤의 증명방법에 의한 증명
(6) 비례를 이용한 증명

4. 3차방정식 x3-2ax2+(a2-1)x+a=0이 항상 서로 다른 세 실근을 가짐을 보여라(단, a는 실수)

※ 참고문헌

본문내용

(6)
같은 방법으로
□BFGC = □MNEB ------ (7)
(6), (7)에서
□ADEB = □ACHI = □BFGC
bar { AB ^{ 2} } = bar { BC ^{ 2} } + bar { AC ^{ 2} }
<그림 3>
(3) 바스카라 증명방법
<그림 4>
<그림 4>는 인도의 수학자이자 천문학자인 바스카라의 증명이다.
c^{ 2} = { ab} over {2 } TIMES 4+(a-b) ^{ 2}
c^{ 2}=2ab+a ^{ 2}-2ab+b ^{ 2}
c^{ 2}=a ^{ 2}+b ^{ 2}
(4) 호킨스 증명방법
<그림 5>
위 <그림 5)에서
bar { AC}
>
bar { BC}
라 하고,
bar { CA}
위에 이
bar { CB}= bar { CC' }
C 을 잡고,
bar { BC}
연장선 위에
bar { AC}= bar { CB'}
이 되게 B 을 잡는다. 이 때, ABC = B C C
bar { AB}= bar { B'C'}=c
ABC =
{ b ^{ 2} } over {2 }
BCC =
{ a ^{ 2} } over { 2}
□B AC B = AC B + BB C
또, 점 B 에서 점 C 을 지나
bar { AB}
와 만나는 점을 D라 하면,
B C C ∽ AC D
( ABC B C C에서 AC D = CB C , AC D = B C C) 이므로,
bar{B prime C prime } BOT bar{AB}
ACB =
{c BULLET bar{AD}} over {2}
BCC =
{c BULLET bar{DB}} over {2}
따라서,
{a ^{2} +b ^{2}} over {2}
=
{c BULLET bar{AD}} over {2}
+
{c BULLET bar{DB}} over {2}
=
{c} over {2} ( bar{AD} + bar{DB} )= {c} over {2} BULLET c= {c ^{2}} over {2}
a ^{2}+b ^{ 2} = c ^{ 2}
(5) 서톤의 증명방법에 의한 증명
<그림 6>
위 <그림 6>에서 90 인 직각삼각형 ABC에서
bar { AB}
=c,
bar { AC}
=b,
bar { CB}
=a라 하자.
이제
bar { AC}
=
bar { AD}
이도록 점 D를
bar { BA}
의 연장선상에
bar { AC}
=
bar { AE}
가 되도록 E를 잡는다. 그러면 꼭지점, D, E, C는 중심이 A이고, 반지름의 길이가 b인 원주 상에 위치한다. 따라서, DCE=90 이고, BCD= ACE이다.
한편, ACE는 이등변삼각형이므로 CEA= ECA이다.
DBC와 CBE에서
DBC는 공통이고 BCD= CBE이므로 DBC ∽ CBE이다.
따라서,
bar { BC}: bar { BE}= bar { BD}: bar { BC}
이다.
즉,
a:(a+b)=(c+b):a
a^{ 2}=(c+b)(c-b)
a^{ 2}=c ^{ 2}+b ^{ 2}
a^{ 2}+b ^{ 2}=c ^{ 2}
따라서,
bar{BC ^{2}} + bar{AC ^{2}} = bar{AB ^{2}}
이다.
(6) 비례를 이용한 증명
<그림 7>
위 <그림 7>에서,
CDB ∽ ADC ∽ ACB 이므로
{TRIANGLE CDB} over {a ^{2}}
=
{TRIANGLE ADC} over {b ^{2}}
=
{TRIANGLE ACB} over {c ^{2}}
=
k
(
k
>0인 비례상수)라면,
{TRIANGLE CDB} over {a ^{2}}
=
k
이므로, CDB=
a ^{2}k
{TRIANGLE ADC} over {b ^{2}}
=
k
이므로, ADC=
b^{ 2}k
{TRIANGLE ACB} over {c ^{2}}
=
k
이므로, ACB=
c^{ 2}k
그런데, CDB + ADC = ACB 이므로,
a ^{2}k
+
b^{ 2}k
=
c^{ 2}k
a^{ 2}+b ^{ 2}=c ^{ 2}
이다.
4. 3차방정식 x3-2ax2+(a2-1)x+a=0이 항상 서로 다른 세 실근을 가짐을 보여라(단, a는 실수)
3차방정식
{ x}^{3 }-2a {x }^{ 2} +( { a}^{2} -1)x+a=0
이 항상 서로 다른 세 실근을 가짐을 보이기 위해 괄호를 풀면,
{ x}^{3 }-2a {x }^{ 2} + { a}^{2 }x-x+a =0
x( { x}^{2 } -2ax+ { a}^{2 }) -(x-a)=0
이 된다.
여기에서,
( { x}^{2 } -2ax+ { a}^{2 })
는 공식에 의해
{ (x-a)}^{ 2}
이 되므로,
x {(x-a) }^{2 } -(x-a)=0
(x-a) LEFT { x(x-a)-1RIGHT } =0
(x-a)( { x}^{2 } -ax-1)=0
(x-a)=0
또는,
( { x}^{2 } -ax-1)=0
이 된다
즉,
a
는 실수이므로,
(x-a)=0
에서
a
라는 실근을 우선 하나 얻을 수 있다.
결국,
a
라는 근이
( { x}^{2 } -ax-1)=0
의 근이 아니라는 것이 확인되면 근이 겹치지 않으면서 세 개의 실근이 나옴을 알 수 있다.
( { x}^{2 } -ax-1)=0
에
a
를 대입하면, -1이 나오므로 식이 성립하지 않는다.
따라서
a
는
( { x}^{2 } -ax-1)=0
의 근이 아니므로 항상 서로 다른 세 근을 가짐을 알 수 있다.
참고문헌
1. 신민영, 피타고라스 정리에 관한 고찰, 영남대 교육대학원 석사학위논문, 2009.
2. 김용찬, 수학의 원리는 아름답다, 영남대학교출판부, 2008.
3. 정완상, 피타고라스가 들려주는 삼각형, 자음과 모음, 2005.
4. 김현주, 르네상스 시대의 인간관 연구 : '주체'와 '합리성'을 중심으로, 한국교원대 교육대학원 석사학위논문, 2005.
5. 김은실, 르네상스를 통한 원근법연구, 한남대 교육대학원 석사학위논문, 2008.
6. 이주환, 르네상스 인문주의가 종교개혁의 사상형성에 미친 영향과 의의, 양대 [신학]대학원 석사학위논문, 2007.

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