유체역학 - 오일러의 운동, 연속방정식

목차

Euler의 운동방정식

1. 오일러의 운동 방정식

2. 공식 유도

3. 정리

연속방정식

본문내용

유 체 역 학
오일러의 운동/연속방정식
Euler의 운동방정식
1. 오일러의 운동 방정식
: 이상 유체에서 유동에 관한 운동 방정식
1.1 유도 방법
Newton의 제 2법칙으로 유도
1.2 유체에서 힘을 받는 것을 고려해보면 ①압력, ②중력, ③마찰력, ④지구자전력 이 4가지가
있다, 그중 ③마찰력은 이상유체 이므로 고려 하지 않고, ④지구자전력은 학부 수준에서 고려 하지 않는다.
2. 공식 유도
2.1 변수 정의
①압력 =
②중력의 각 방향 성분=
③미소 유체의 질량=
④각 방향의 가속도 =
2.2 가속도 구하기
P점을 중심으로 속도 성분을 , 시간을 로 나타낸 함수
=
∴
(는 후에 이동한 미소 이동량)
시각 에서 점 를 통과한 미소 유체 입자가 가지는 특성 의 값과, 그 유체 입자가 시간후에 점 Q에서 가지는 f의 값과 차를 라고 정의, 의 시각에 점 에서 유체가 가지는 특성 는 Euler의 표현법에 의하면
테일러의 전개에 의해서
∴
시간에 대한 변화율로 나타내기 위해서 로 양변을 나눠줍니다.
그런데, 여기서 이므로
이 된다.
위 식을 정리 하면,
이 된다.
2.3. 축에 관한 운동
여기서 이상유체를 다리고 있기에 압력만 작용하게 된다.
미소 입자의 중심 , 미소 입자의 부피일때,
질량력(중력)==
여기서 X방향으로 작용하는 중력은 질량력의 X성분 이므로
에 작용하는 압력 =
에 작용하는 압력 =
와 두면에 작용하는 압력의 합 = 미소입자에 작용하는 압력
F=ma=질량력 + 압력
방향에 관한 오일러 방정식.
2.4. y축에 관한 운동
여기서 y방향으로 작용하는 중력은 질량력의 y성분 이므로
에 작용하는 압력 =
에 작용하는 압력 =
와 두면에 작용하는 압력의 합 = 미소입자에 작용하는 압력
F=ma=질량력 + 압력
방향에 관한 오일러 방정식.
2.5. z축에 관한 운동
z방향으로 작용하는 중력은 질량력의 z성분 이므로
에 작용하는 압력 =
에 작용하는 압력 =
와 두면에 작용하는 압력의 합 = 미소입자에 작용하는 압력
F=ma=질량력 + 압력
z방향에 관한 오일러 방정식.
3. 정리
위 2.2 ～ 2.5 까지 구한 값을 정리하면,
이것이 오일러의 운동방정식이라고 한다.
연속방정식
1.1 축에 대하여
미소입자의 중심 부피 일 때, 축 방향으로 유입되는 유체의 속도는 ,
밀도는 라고 정의.
시간동안 EFGH면을 통해 유입한 유체의 질량
시간동안 ABCD면을 통해 유출한 유체의 질량
질량의 증가분 = 유입량 -유출량
x축 방향에 대한 질량 증가분 :
1.2 축에 대하여
미소입자 중심P(x,y,z) , 부피 ,
y축방향으로유입되는 유체의 속도 w, 유체밀도
시간동안 AEHD면을 통해 유입한 유체의 질량
시간동안 BFGC면을 통해 유출한 유체의 질량
질량의 증가분 = 유입량 -유출량
y축 방향에 대한 질량 증가분 :
1.3 축에 대하여
미소입자 중심P(x,y,z) , 부피 ,
z축방향으로 유입되는 유체의 속도 w, 유체밀도
시간동안 ABFE면을 통해 유입한 유체의 질량
시간동안 DCGH면을 통해 유출한 유체의 질량
질량의 증가분 = 유입량 -유출량
z축 방향에 대한 질량 증가분 :
1.4 정리
x,y,z축의 모든 방향의 질량의 변화량을 더해주면 시간동안 미소입자내의 총질량의 증가분이 나오게 된다.
이다. 미소직육면체의 부피가 일정하므로 질량의 증가는 곧 밀도의 증가를 의미한다. 이는 를 의미한다.
최초질량 가 시간 경과후 증가질량(밀도증가분체적(V))은
질량보존의 법칙에 의해
=
양변을 로 나누어준다
=
← 연속 방정식

키워드

Euler의 운동방정식,   오일러의 운동 방정식,   오일러의 운동,   연속방정식