유클리드(Euclid)와 『기하학 원론』

소개글

유클리드(Euclid)와 『기하학 원론』에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 알렉산드리아 학파와 헬레니즘 문화

2. 유클리드의 『원본』

3. 유클리드 <원본>의 여러 사본들과 인쇄본

4. 『원본』의 평면기하학

5. 비의 이론과 『원본』의 수론

6. 『원본』의 제Ⅹ권

7. 『원본』의 입체기하학

8. 정다각형

9. 『원론』의 형식체계

10. 유클리드의 그 밖의 저작

11. 『원본』이 반영하는 문화

12. 비례론(참고자료)

참고자료

본문내용

가질 수 있다.
6) 정적(靜的)인 그리스 수학
- 도형을 변화시키는 성질은 연구되지 않음(도형은 완전한 것으로 주어지고 있는 그대로의 모습을 연구)
→ 이러한 주제를 반영한 그리스 신전의 고요한 분위기(마음의 평화), 정적이고 초연한 모습의 그리스 조각들(원반 던지는 사람의 얼굴)
→ 정적(靜的)인 것이 특징인 그리스 연극
→ 운명이나 필연적인 역할을 강조하는 그리스 비극(연역적 추론에서 수학자가 전제에서 이끌려 나오는 귀결을 선택할 자유를 가지지 못하고 필연적인 결말만 받아들일 수밖에 없듯이, 운명의 작용과 그 결말은 이 연역적 추론을 사용할 때 포함되어 있는 강제력과 닮았다 오이디푸스)
7) 그리스의 예술, 기하학, 철학의 특징
- ‘영원한 상(相) 아래에서’ 우주를 바라보려고 했던 노력이 반영 : 순간적인 것이나 개별적인 것보다 영원한 보편적 지식을 추구 → 수학적 성질과 상동
- 대중을 위한 것이 아닌 개인 속에서 넓고 기본적인 것을 끌어내어 그리려고 노력
- 철학적인 사색에서 개념이나 질의 완전한 형식을 정의하여 이해하려고 노력 : 완전한 것은 본질에서 영원한 것이기 때문 → 완전한 국가를 열망 → 자유민의 민주화를 이룸
※ 완전성을 추구했던 그리스인의 관념은 그 시대의 지배적 이데올로기였고, 이러한 관념적 이데올로기는 그들의 지배 구조를 견고하게 다지기 위한 도구에 지나지 않았음.
※ 그리스 미술은 아르카익 시대와 클래식(고전)시대, 헬레니즘 시대의 세 시기로 구분된다.
아르카익 시대(기원전 7세기 ~ 6세기)에는 겉 부분의 묘사보다는 인체의 구조적 측면에 관심을 가져, 정면을 나타내는 조각을 하였고, 사실에 의지한 묘사가 아닌 거대하고 강한 모습을 나타나게 하는 구조적 측면의 묘사가 행해졌다(왼쪽 그림은 ‘두 형제’라는 기원전 6세기 초엽의 조각이다). 이 시기의 말기에는 자연스러운 묘사를 강조하는 조각들이 나타나게 된다.
클래식(고전)시대(기원전 5세기 ~ 4세기)에는 조화미, 이상미를 추구한 그리스 미술의 전성기였다.
이 시대에는 3인의 위대한 조각가(미론, 페이디아스, 폴리클레이토스)들이 있었는데, 미론은 운동의 순간적인 자세를 표현하는데 재능을 발휘했다. 특히, ‘원반 던지는 사람’은 동적인 몸짓과 정적인 표정이 묘한 대조를 이루고 있다. 페이디아스는 파르테논 신전의 장식조각으로 유명하다. 폴리클레이토스는 외형이 이상미를 추구한 것으로 유명하다. 그는 인체의 이상적인 아름다움이 머리가 전신의 일 때라고 하여 ‘창을 든 사람-기원전 450년 경’등의 조각을 남겼다. 이러한 법칙(7등신 법칙)이 폴리클레이토스의 캐논이다. 그 1세기 후, 리시포스라는 조각가가 새로운 인체의 표준형을 만들어 내는데, 이것은 8등신 캐논이다. 이 법칙에는 단순한 미 취향의 변화만을 이야기하는 것이 아니라, 황금분할 법칙이라는 중요한 법칙이 내재해 있었다. 그리스인들은 모든 자연물들을 관찰하고 분석하여 황금비례 대략 1 : 1.618 이 황금비이고, 자세한 내용은 사람과 수학 제2호(전교조수학교사회)에 김지수 선생님의 ‘자연과 수학의 조화, 황금비’ 참조
라고 하는 가장 이상적인 미의 법칙을 찾아냈던 것이다. 이러한 8등신 캐논은 현재까지도 미인의 선발에 영향을 미치고 있다.(크니도스의 비너스-기원전 330년경)
마지막 시기인 헬레니즘 시대(기원전 3세기 ~ 1세기)에는 인간이 살아가는 모습을 현실 그대로 표현하기 위해 노력했고, 소재의 범위가 매우 넓어졌으며 세속적인 것들을 대상으로 한 조각들이 등장한다. ‘크니도스의 비너스’와 ‘밀로의 비너스’가 이 시기에 속하며, 추하고 격정적인 것까지 모두 표현해냈다. 또한 운동감을 주는 표현으로 ‘니케 여신상’, ‘라오콘 군상’등이 있고, 다른 인종인 ‘죽어가는 갈리아인’등의 조각이 있다.
12. 비례론(참고자료)
● “동일한 크기의 높이를 갖는 삼각형의 면적의 비는 그들의 밑변의 비와 같다”를 증명함에 있어 피타고라스 학파, 에우독소스, 현대교과서의 증명의 차이 비교
1) 피타고라스 학파
- 임의의 두 선분이 같은 표준으로 잴 수 있다는 가정하에서 증명(무리수의 발견 이전)
pf ) 그림에서와 같이 한 직선 MN위에 밑면 BC와 DE가 놓인 두 삼각형 ABC와 ADE가 주어졌다고 하자. BC와 DE는 어떤 공통의 측정단위를 갖는다고 가정할 수 있으므로, BC는 그것의 p배이고, DE는 그것의 q배라고 하자. BC와 DE위에 이들 분점을 표시하고 그 분점을 꼭지점 A와 연결한다. 그러면 두 삼각형 ABC와 ACE는 각각 동일한 면적을 갖는 p개와 q개의 작은 삼각형으로 나누어진다. 그러므로 (같은 단위로 잴 수 없는 선분이 존재한다는 것 때문에 혼란)
2) 에우독소스의 비례론
pf ) 그림에서와 같이 한 직선 CB를 B에서부터 계속적으로 CB의 크기와 동일한 개의 선분을 나란히 이어 연장한 다음 각 분점 , , …, 을 꼭지점 A와 연결한다. 마찬가지로 DE를 E에서부터 계속적으로 DE의 크기와 동일한 개의 선분을 나란히 이어 연장한 다음 각 분점 , , …, 을 꼭지점 A와 연결한다. 그러면 이며, 이고,
이며, 이다.
그러므로 가 된다.
3) 현대의 고등학교 교과서(BC와 DE가 같은 표준으로 잴 수 있는 경우와 그렇지 않은 경우의 두 가지로 나누어 하고 있다(잴 수 있는 경우는 피타고라스 학파의 증명과 같고, 그렇지 않은 경우에는 극한의 개념을 이용)
pf ) (잴 수 없는 경우) BC를 n등분한 후에 그 중 한 등분을 BR이라고 하자. 그런 다음, DE위에 BR과 크기가 같은 선분을 계속 이어 붙여서 FE < BR이 되는 DE 위의 점 F를 얻을 때까지 계속한다.
그러면, 같은 표준으로 잴 수 있는 경우에 의하여이다.
이제, 하면, 이고, 이다. 따라서 극한에서
이다.
참고자료
1. 數學史大全, 우성문화사. 김용운, 김용국 공저
2. 수학사. 경문사. Howard Eves 지음. 이우영신항균 옮김
3. 미학 오디세이 1, 2. 샛길. 진중권 지음
4. 수학사 가볍게 읽기, 한승, 샌더슨 스미스
5. 수학문화사, 일월서각, 안재구
6. 유클리드의 창 : 기하학 이야기, 까치, 레오나르드 믈로디노프

키워드

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