(방송통신대 선형대수 기말과제물)2018학년도 선형대수 기출문제 중 15번~24번까지의 문제에 대해 풀이를 상세하게 해설하시오 연구과제 5장 4번 10장 10번 12장 10번 4차 정칙행렬 암호문

소개글

(방송통신대 선형대수 기말과제물)2018학년도 선형대수 기출문제 중 15번~24번까지의 문제에 대해 풀이를 상세하게 해설하시오 연구과제 5장 4번 10장 10번 12장 10번 4차 정칙행렬 암호문에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 2018학년도 선형대수 기출문제 중 15번~24번까지의 문제에 대해 풀이를 상세하게 해설하시오. (기출문제는 u-KNOU 캠퍼스에서 다운) [30점]

2. 제5장의 연구과제 4번(교재 p.129)을 푸시오. [4점]

3. 제10장의 연구과제 10번(교재 p.270)을 푸시오. [6점]

4. 제12장의 연구과제 10번(교재 p.311)을 푸시오. [5점]

5. 다음 표와 4차 정칙행렬을 이용하여 학생의 영문 성과 학번의 끝 3자리를 암호문으로 만들고 다시 평서문을 만드는 방법을 설명하시오 (예를 들어 학생 홍길동의 학번이 ******-***123이면 HONG123이 평서문임. 필요하다면 space를 26번으로 정하기 바람).

6. 참고문헌

본문내용

311)을 푸시오. [5점]
(연구과제 10번) 특성방정식 f(λ)=0은 다음과 같이 고윳값 λ에 대한 다항식으로 나타낼 수 있다(해밀턴-케일리 정리).
λ에 행렬 A를 대입하면 f(λ)에 대하여 이다.
에 대하여 해밀턴-케일리 정리가 성립함을 보여라.
앞서 문제22번에서 고윳값을 구하는 과정에서 2차 정방행렬 M에 대해 |(M-λI)|가 λ에 대한 2차 다항식으로 표현됨을 확인했다. n차 특정방정식의 해는 중복 포함해서 n개의 해를 가진다. 22번 문제에서는 2차 특성방정식이므로 2개의 해를 가진다.
해밀턴-케일리 정리는 n차 정방행렬 A에 대해 |(A-λI)|가 λ에 대한 n차 다항식(특성다항식)으로 표현되고, 특정다항식에 λ 대신 정방행렬 A을 대입하면, A은 특성방정식(특성다항식=0)의 해가 된다는 것이다. 이때 는 스칼라이다. 해밀턴-케일리 정리를 달리 표현하면, 모든 정방행렬은 자신의 특성방정식을 만족한다. 즉, f(λ) = 0이 A의 특성방정식이면 이 성립한다. 이때 은 영행렬이다.
위 문제를 풀기 위해서 특성다항식부터 구한다.
위 특성다항식의 λ 대신 행렬 A을 대입해 그 값을 확인한다.
위 결과에 따라 특성방정식 이므로 해밀턴-케일리 정리가 성립한다.
5. 다음 표와 4차 정칙행렬을 이용하여 학생의 영문 성과 학번의 끝 3자리를 암호문으로 만들고 다시 평서문을 만드는 방법을 설명하시오 (예를 들어 학생 홍길동의 학번이 ******-***123이면 HONG123이 평서문임. 필요하다면 space를 26번으로 정하기 바람). [5점]
행렬곱과 역행렬은 메시지를 암호화하고 복호화하는 데 사용할 수 있다. 암호화와 복호화 과정을 정리하면 다음과 같다.
평서문 메시지(HONG123)를 표를 이용하여 숫자로 변경한다. 평서문에서 문자와 숫자의 구분을 위해 숫자 앞에서는 space(26)를 삽입한다. 표를 통해 변경한 숫자를 바로 이용하지 않고 조금 더 어렵게 만들기 위해 일정 값(예: 3)을 더한 결과값으로 원문 메시지 행렬 B를 만든다. 그리고 행렬 A에 메시지 행렬 B를 곱한 AB를 계산하면 암호문 즉, 암호화한 메시지가 된다.
전송된 암호문은 역행렬을 이용해 평서문으로 디코딩한다. 이때 행렬 A는 역행렬이 존재하는 행렬, 즉 정칙행렬이어야 한다. 암호문 수령자는 복호화를 통해 원문으로 변경한다. A-1AB = B이므로 복호화는 A의 역행렬과 행렬 AB의 곱으로 계산한다. A-1AB는 결과는 원문 B이므로, B의 요소에 3을 뺀 값과 주어진 표의 문자표를 대조해 최종적으로 원문으로 변환한다. 이때 숫자 앞에 26이 나오면 그 숫자는 숫자 자체로 해석한다.
이상의 과정에 따라 다음과 같이 암호문과 복호문을 만든다. 먼저 암호화에 사용할 4차 정칙행렬은 다음과 같다. 4차 정칙행렬의 선택할 때 계산을 쉽게 하기 위해 각 행에 0이 적당히 있는 행렬을 만들면 좋을 것이다.
행렬 A에 역행렬이 존재하는지 확인한다. 정리 5.9(p117)에 따라 역행렬이 존재하기 위해서는 |A|≠0 이어야 한다. 역행렬은 정리 4.6(p83)을 이용하거나 정리 6.2(p139) 등의 방법으로 구한다. 여기서는 정리 6.2에 따라 수반행렬을 이용해 역행렬을 구한다.
A의 행렬식을 쉽게 계산하기 위해 행의 요소에 0이 2개 있는 1행을 선택해 여인수 전개를 한다. 단, 풀이 과정에서 효율적인 계산을 위해 3차행렬의 행렬식 계산은 여인수 전개 대신, 아래의 공식을 이용한다(p107). 공식의 암기법은 p107의 그림 5.1 또는 참고문헌 6)의 방법 등을 참고하면 된다.
따라서 |A|≠0 이므로 행렬 A는 역행렬이 존재한다.
역행렬의 계산은 정리 6.2에 의한다. |A|는 앞에서 구했으므로 수반행렬만 구하면 된다. |A|=1이므로 수반행렬이 곧 역행렬이 된다.
정의 6.1(P138)에 따라 수반행렬은 다음의 과정으로 구해진다. 수반행렬은 여인수 행렬의 전치행렬이므로 여인수 행렬부터 구해야 한다. 행렬 A의 여인수 행렬은 A의 각 요소에 대한 여인수를 요소로 하는 행렬이다.
이제는 평서문 “HONG123\"을 표를 이용해 숫자로 변환한다. 이때 숫자와 문자의 구분을 위해 숫자 앞에는 SPACE(26)을 삽입한다.
H: 7+3=10, O: 14+3=17, N: 13+3=16, G:　6+3=9　　
space:　26+3=29, 1:　1+3=4, space:　26+3=29, 2: 2+3=5, space:　26+3=29, 3: 3+3=6,
space:　26+3=29, space:　26+3=29
A가 4 X 4 행렬이므로 B와의 행렬곱이 가능하기 위해서는 B의 행이 4개이어야 한다. 따라서 원문의 문자는 4의 배수가 되어야 하므로 원문 마지막에 2개의 space를 더 추가해서 아래와 같이 4X3 행렬 B를 만든다.
각 열의 성분들을 나열하면 원문은 다음과 같다.
10, 17, 16, 9, 29, 4, 29, 5, 29, 6, 29, 29
암호문은 다음과 같이 행렬 A와 원문 B의 행렬곱으로 만든다.
따라서 암호화된 메시지는 다음과 같다.
-1, 55, 41, 24, 25, 72, 112, 28, 33, 122, 110, 6
암호문의 수령자는 역행렬을 이용해 디코딩한다. 즉, A-1AB의 계산 결과가 B이므로 복호화는 A-1AB 를 계산하면 된다.
위 결과에서 각 열의 성분을 나열하면 원문 B와 일치함을 알 수 있다.
10, 17, 16, 9, 29, 4, 29, 5, 29, 6, 29, 29
따라서 위 숫자를 표와 대조해 문자화하면 평서문 HONG123을 얻게 된다.
아래 그림은 지금까지의 과정을 파이썬 프로그래밍 언어를 통해 간략히 확인한 것이다.
6. 참고문헌
1) 손진곤, 강태원(2015), 선형대수, 출판문화원.
2) Kuldeep Singh(2021), 한 걸음씩 알아가는 선형대수학, 한빛아카데미.
3) Howard Anton,Chris Rorres(2021), (알기 쉬운) 선형대수, 한티에듀.
4) 이병무(2013), 선형대수학 입문, 경문사.
5) 김홍철(2014), 선형대수학과 응용, 경문사.
6) https://engineershelp.tistory.com/297

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