The Fermat Point

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The Fermat Point

Sometimes shortest distance problems involve more than two points. One such problem was posed by Pierre Fermat(1601-1665) and first solved by a student of Galileo, Evangelista Torricelli(1608-1647).

Fermat Point is the point in an acute triangle ABC which would minimize the sum of the distances to the vertices A, B, and C.

Drawing the Fermat point in a trangle ABC
Draw an acute triangle ABC and choose an arbitrary interior point P of ABC. Connect P and each vertices of ABC. Construct an equilateral triangle ABD on a segment AB, and rotate ABP 60o around B into position DBE. By cunstruction, BPE is equilateral. We thus have PA+PB+PC=DE+EP+PC. So, PA+PB+PC is no shorter than the straight line DC. Therefore, PA+PB+PC reaches its minimum iff P lies on DC.
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<해석>

페르마 포인트(페르마의 점)

때때로 최소 거리 문제는 두 개 이상의 점을 포함한다. 그러한 문제들 중의 하나가 피에르 페르마(1601-1665) 에 의해서 제기되었고, 갈릴레오의 제자인 토리첼리(1608-1647)에 의해서 해결되었다.

<정의> 임의의 삼각형 ABC에 대해 각 꼭지점 A, B, C까지의 거리의 합이 최소가 되는 점을 페르마 포인트라 한다.

삼각형 ABC에 대해 페르마의 점 작도하기
삼각형 ABC를 그리고, ABC의 내점 P를 임의로 취한다. P와 ABC의 각 꼭지점을 잇는다. 변 AB 위에 정삼각형 ABD를 만들고, 삼각형 ABP를 점 B를 중심으로 60 o 회전시켜 DBE의 위치에 오게 한다. 만든 과정에 의해 삼각형 BPE 는 정삼각형이다.
따라서, PA+PB+PC=DE+EP+PC.
그러므로, PA+PB+PC 는 선분 DC의 길이보다는 크거나 같다. 따라서, PA+PB+PC 가 최소가 되기 외해서는 점 P가 변 DC위에 있어야 한다.
그래서 페르마 포인트는 유일하고, 각 변 AB, BC, CA 위에 만들어진 정삼각형의 새로운 꼭지점과 그 반대쪽에 있는 ABC의 꼭지점을 각각 이은 직선의 교차점 위에 놓이게 된.........

키워드

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