미분, 적분에 관한 노트

목차

이글은 수학중에서 함수와 미분 적분에 관한 노트 정리입니다.

본문내용

의 과정을
[a,`b]`
전구간에 적용하면 다음의 정리를 얻을 수 있다.
Thoerem [심슨의 공식] 함수
f~
가 구간
[a,`b]`
에서 연속일때 심슨의 공식에 의 한
int_{a}^{b}f(x)dx`
의 근사값은
int_{a}^{b}f(x)dx APPROX left({b-a}over{3n}right)[f(x_0 )+&4f(x_1 )+ 2f(x_2 )+cdots # &cdots +2f(x_{n-2 })+4f(x_{n-1} )+f(x_n )]
이다. (여기서
n
은 짝수!)
CHPTER 3 무한급수
3. 1 급수의 수렴과 발산
무한급수(infinite series)
실수의 무한수열
left{a_n `right}_{n=1}^{infty}~
에 대하여 이들 각항의 무한합으로 정의되는
a_1 `+` a_2 `+`cdots`+`a_n `+`cdots `=sum_{n=1}^{infty} a_n`
를 무한급수(infinite series)라고 한다. 무한급수의 합을 찾기 위해서 다음과 같은
수열
left{a_n `right}_{n=1}^{infty}~
의 부분합
S_n `
을 생각하자
S_1 `=`a_1`
S_2 `=`a_1 `+` a_2`
vdots`
S_n `=`a_1 `+` cdots `+`a_n`
.
Definition 수열
left{ a_n `right}`
에 대하여 그들의 부분합의 수열
left{S_n `right}`
이 어떤 실수
S`
로 수렴하면 무한급수
sum_{n=1}^{infty} a_n`
은 수렴한다고 하고 다음과 같이 쓴다.
S`=`a_1 `+` a_2`+` cdots`+`a_n`cdots`
만약 수열
left{ S_n `right}`
이 발산하면, 급수
sum_{n=1}^{infty} a_n`
은 발산한다고 말한다.
Definition
a` neq` 0`
일때
sum_{n=0}^{infty} ar^n `=`a`+`ar`+cdots+`ar^n`+cdots`
과 같이 주어진 급수를
공비
r`
을 갖는 무한기하급수(infinite geometric series)또는 무한등비급수라고 한다.
Theorem
a`neq`0`
일때,
sum_{n=0}^{infty} ar^n = cases {{a}over{1-r}~` ~&0< |r|<1 # #~`발산 ~&|r|`geq`1}~
보기3.3 급수
sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}`=`1`-`1`+`1`-`1`+`cdots`~
는
n`
이 짝수이면
S_n `=`0`
, 홀수이면
S_n `=`1`
이어서
n `rightarrow `infty`
일 때 부분합
S_n`
은
0`
과
1`
사이를 진동한다. 따라서 이 급수는 발산하고 이와같이 부분합의 수열
left{ S_n right}`
이 진동하는 급수를 진동급수(oscillating series)라고 한다.
3. 2 수렴의 기본성질
Theorem 각 항이 양수인 수열
left{ a_n`right}`
에 대하여 그 부분합의 수열
left{ S_n`right}`
은 위로 유계이면 그 급수는 수열
left{ S_n`right}`
의 최소상계로 수렴한다.
i.e.
sum_{n=1}^{infty} a_n `= \sup left{ S_n ~|~n `=`1,`2,`cdots~ right}`
.
Theorem [발산의 검정] 수열
left{ a_n`right}`
이
0`
으로 수렴하지 않으면, 무한급수
sum_{n=1}^{infty} a_n`
은 발산한다.
Example 급수
sum_{n=1}^{infty} {n!}over{2n!+1}`
에 대하여
lim from {n -> infty} {n!}over{2n! +1}={1}over{2}`
이므로 이 급수는 발 산한다.
Note 위 정리의 역은 성립하지 않는다.
보기 3.5 조화급수(harmonic series)
sum_{n=1}^{infty} {1}over {n}~=~1`+`{1}over{2}`+`{1}over{3}`+`cdots~
은 발산한다.(Why?) 그러나 이 급수의 일반항
a_n` =`{1}over{n}`
은
0`
으로 수렴한다.
3. 3 적분판정법(integral test)
Theorem [적분판정법] 함수
f(x)`
는
x`geq`1`
에서 양의값을 갖는 연속인 함수로써
f(n)`=`a_n `
이라고 하자. 만약 이상적분
int_1 ^ infty f(x) `dx`
이 존재하면 급수
sum_{n=1}^{infty} a_n `
는
수렴하고 적분이 존재하지 않으면 이 급수도 발산한다.
Example 급수
sum_{n=1}^{infty} {n}over{n^2 `+ `1}`
과
sum_{n=1}^{infty} {1}over {n^2 `+`1}`
에 적분판정법을 적용해 보자. 각각 의 급수에 대해
f(x)`=`{x}over{x^2 `+`1}`
와
g(x)`=`{1}over{x^2 `+` 1}`
을 취하면 적분판정법의 조건 을 모두 만족시킴을 알 수 있다. 이제 적분을 계산하면
int_{1}^{infty} {x}over{x^2 + 1}dx&={1}over{2} int_{1}^{infty} {2x}over{x^2 + 1}dx# &= {1}over{2} lim from{t -> infty} left[log(x^2 +1) right]_{1}^{t}# &={1}over{2}lim from{t -> infty} left[log(t^2 +1)-log2 right]# &= inf ,
int_{1}^{infty} {1}over{x^2 +1}dx&=lim from{t->infty}left[ \Tan^{-1} x right]_{1}^{t}# &=`lim from{t->infty} left[ \Tan^{-1} t - \Tan^{-1} 1 right]# &={pi}over{4}
이므로
sum_{n=1}^{infty} {n}over{n^2 `+`1}`
은 발산하고
sum_{n=1}^{infty} {1}over{n^2 `+`1 }`
은 수렴함을 알 수 있다.

키워드

미분,   적분,   도함수와 편도함수,   함수의 극한,   함수,   함수의 연속