수의역사

소개글

수의역사에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 수의 탄생
2. 자연수
3. 증명
4. 실수
5. 제논의 역설과 실수의 연속성

본문내용

어떤 순간을 기다린다. 셔터를 누를 순간이 다가옴에 따라 시간은 수직선 위의 점으로, 예컨대
1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 , 1.4142 , ........
처럼 시시각각 '순간'을 향해 다가갈 것이다 카메라맨이 '지금이야말로 셔터를 누를 순간이다.'라고 생각했을 때, 시간은 위 계열의 끝으로서 수직선의 점 1.41421356....에 도달할 것이다. 이러한 순간이 존재한다는 것이 바로 실수의 연속성이라 할 수 있다. 제논이 별 거리낌 없이 '어느 한 순간을 생각해 보자.'라고 말한 부분을 수의 세계에서 표현하기 위해서는 이와 같이 실수의 연속성이 필요한 것이다. '순간'을 과거와 미래를 구분하는 점이라고 간주할 때, 연속성의 보증이 없으면 이 분할점은 의미를 잃어 버리고 만다. 우리는 순간이란 개념이 실수의 연속성과 아주 깊게 결부되어 있음을 알았다. 그렇다고 우리가 제논의 역설을 완전히 뒤엎은 것은 아니다. 제논의 역설을 타파하는 열쇠는 역설 속에 서술되어 있는 '다음 순간'에 있다. 과연 제논이 말하는 '다음 순간'은 존재하는 것일까?
어느 순간이든 임의의 순간을 생각해 보자. 위의 예를 인용해 이 순간은 수직선 위의 점으로서
a=1.41421356....
으로 표시되었다고 하자. 제논의 역설을 성립시키기 위해서 a 의 다음 순간은
(1)a보다 크다.
(2)a와 다음 순간 사이에 다른 수는 없다.
를 만족해야 한다.
그러면 a에 대해 (1), (2)를 만족하는 수가 있는지 살펴보도록 하자. (1)을 만족하는 즉 a 보다 큰 수 1.5를 취해보더라도 (2)를 만족시키지 않는다. 따라서 다음에 1.42를 취해보아도 a보다 크긴 하나 역시 (2)를 만족하지 않는다. 그래서 1.415를 취해본다. 이와 같은 시행착오를 반복하면서 (1), (2)를 만족하는 수를 얻으려고 시도하면 다음과 같은 수 계열을 얻을 수 있을 것이다.
1.5 , 1.42 , 1.415 , 1.4143 , 1.41422, 1.414214 , 1.4142136 , ...
이 계열에서 궁극적으로 나타나는 수는 분명히 a 자체라는 것을 알게 된다. 즉 다음 순간은 존재하지 않는다. 따라서 제논의 역설은 성립하지 않는 것이다. 결국 날아가는 화살은 확실히 날고 있는 것이다. 이 이야기는 실수의 연속성이 어떠한 것인가를 분명하게 보여주고 있다.
목차
1. 수의 탄생
2. 자연수
3. 증명
4. 실수
5. 제논의 역설과 실수의 연속성

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수의역사,   수의 역사,   수학,   숫자