[과외]고등 수학 예상문제 I-1. 집 합

본문내용

{3}, {3})
(iii) 일 때
A={1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, B={1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
∴ (A, B)=({1, 2}, (1, 2}), ({1, 2}, {1, 3}), …, ({2, 3}, {2, 3})
(iii) 일 때
A=B={1, 2, 3}
∴ (A, B)=({1, 2, 3}, {1, 2, 3})
따라서 1+9+9+1=20 (쌍)
공통수학
Ⅰ 집합과 명제
68. Ans) 5
Sol)
을 수직선에 나타내 보면
이므로
∴ 조건을 만족하는 n의 최대값은 5.
69. Ans) {4, 5, 6}
Sol)
A={4, 5, 6}
{1, 2, 3} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
70. Ans) { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
Sol)
인 정수이므로
a=-1, 0, 1, b=-1, 0, 1
∴ =-1+2(-1), -1+2×0,
-1+2×1, 0+2(-1),
0+2×0, 0+2×1,
1+2(-1), 1+2×0,
1+2×1
= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
∴ A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
별해) -1a1, -2b2
이므로 -3a+2b3
71. Ans) ③
Sol)
n=1, 2, 3, 4, 5, …
(0에 한없이 가까워짐)
∴
공통수학
Ⅰ 집합과 명제
72. Ans) ⑤
Sol)
연산 결과를 표로 나타내보면
{1}
{2}
{1, 2}
{1}
{2}
{1, 2}
{1}
{1}
{1, 2}
{2}
{2}
{2}
{1, 2}
{1}
{1, 2}
{1, 2}
{2}
{1}
∴ 에 대한 항등원 :
공통수학
Ⅰ 집합과 명제
{2}의 역원 : {2}
73. Ans) ③
Sol)
①
②
③
④
(∵ )
⑤
74. Ans) ⑤
Sol)
A가 자연수를 원소로 가지므로 에서 는 64의 양의 약수이어야 한다.
즉, A는 의 7개 숫자 중 일부 또는 전부로 구성된 집합이다.
(i) 일 때
A={}={8}
(ii) 일 때,
A={}, {}, {}
(iii) 일 때
A={}, {}, {}
(iv) 일 때
A={}, {}, {}
(v) 일 때
A={}, {}, {}
(vi) 일 때
A={}
(vii) 일 때
A={}
∴ 15개
75. Ans) ③
Sol)
(m, n, p, q : 정수)
5로 나눈 나머지를 구할 때 각각의 나머지만 계산해도 되므로 a=1, b=2, c=3, d=4로 하여 구해도 무관하다.
① a+b+c=1+2+3=
② ab+3=1×2+3=
③ abcd=1×2×3×4=
④ 3a+5b+2c=3×1+5×2+2×3=
⑤
76. Ans) ②
Sol)
집합 A에는 은 자연수, 는 실수)꼴의 원소가 들어 있다.
① 이면 또는 인 경우가 모두 가능하다. 따라서, 이면 라고 단정할 수 없다.
② 「A가 유한집합이면 이다.」의 대우명제는 「이면 A는 무한집합이다.」
일 때 은 임의의 자연수)이므로 집합 A는 무한집합으로써 ②는 참인 명제이다.
③ A가 무한집합일 때 또는 인 공통수학
Ⅰ 집합과 명제
경우가 모두 가능하므로 라고 단정할 수 없다.
④ (반례) 일 때 인데
⑤ (반례) 일 때 인데
77. Ans) ③
Sol)
모든 실수 에 대하여 이므로 집합
(실수 전체의 집합)
여기서 R은 무한집합이므로 A가 유한집합이면 B는 반드시 무한집합이어야 한다. 그러나, A가 무한집합일 때는 B가 유한 또는 무한집합 어느 경우도 상관이 없다.
78. Ans) ④
Sol)
자연수 을 소인수분해하면
는 소수)꼴이다. 는 과 서로 소인 자연수}의 원소는 의 배수가 아닌 수들이다.
ㄱ. ={1, 3, 5, 7, 9, …}이고 에서
는 2의 배수가 아닌 수}이므로
ㄴ. 6=2×3에서 은 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수들의 집합이다. 즉,
={1, 2, 4, 5, 7, 8, …}, ={1, 5, 7, …}
에서 이다.
ㄷ. 에서 은 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수들의 집합이다. 즉, 과 같다. 이 때, 이므로
79. Ans) ④
Sol)
위의 그림의 ㉠에서 (가)는 {3, 5}를 포함한 {1, 2, 3, 5}의 부분집합이다.
또, ㉡에서 (가)는 {1, 3, 4, 5}의 부분집합이어야 하므로 결국, ㉠, ㉡에서 (가)는 {3, 5}를 포함한 {1, 3, 5}의 부분집합이다.
한편, ㉢을 보면 (나)는 1을 반드시 원소로 가지므로 ㉢에서 (가)는 1을 원소로 가진다.
따라서, (가)는 {1, 3, 5}이다.
80. Ans) ①
Sol)
연산의 정의로부터
①
②
③
④
⑤
공통수학
Ⅰ 집합과 명제
따라서, 옳지 않은 것은 ①번이다.
81. Ans) 15
Sol)
방정식 의 서로 다른 실근을 1, 2, 3, …, 7)
방정식 의 서로 다른 실근을
공통수학
Ⅰ 집합과 명제
1, 2, 3, …, 9)
라고 하면
A={}
여기서
이라 하면
의 원소는 는 임의의 실수)의 꼴이고 의 원소는 (t, u는 임의의 실수)의 꼴이므로 가 무한집합이 되려면 과 중 적어도 하나는 서로 같아야 한다.
여기서 집합 B=
{}
의 원소의 개수가 최대인 경우는 과 가운데 어느 하나만 일치하고 나머지는 모두 다른 경우를 생각하면 되므로 의 최대값은 7+9-1=15이다.
[참 고] 집합 B가 최대가 되는 실제의 예를 들어보면 의 근이 =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 의 근이 =1, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15일 때
A={(1, 1), (1, 2), …, (1, 100), …}
가 되어 A는 무한집합이다. 이 때 집합
B={(1, 1), (2, 2), (3, 3), …, (14, 14), (15, 15)}가 되어 이다.
82. Ans) ①
Sol)
S가 S 자신을 원소로 갖는 것에 대한 표현은
자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들 전체의 집합은 으로 표현된다.
83. Ans) ③
Sol)
그런데
따라서, 이다.
84. Ans) ②
Sol)
색칠한 부분은
공통수학
Ⅰ 집합과 명제
85. Ans) ②
Sol)
(가), (나)의 조건에 의하여
, , …
따라서, 집합 A에는 적어도 3의 배수는 원소가 되어야 한다. 그 가운데 원소의 개수가 가장 적은 것은 A={3, 6, 9, 12, …, 99}

키워드

명제,   정수,   자연수,   실수,   원소