폴리아의 문제해결에 따른 지도

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폴리아의 문제해결에 따른 지도에 대한 보고서 자료입니다.

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경우의 수가 a이면, 확률은 가
됩니다.
교사 : 그렇다. 그럼 예각삼각형이 될 확률을 구할 수 있겠는가?
학생 : 잘 모르겠습니다.
교사 : 좀 더 생각을 해보아라. 예각삼각형이 될 확률을 구할 수 없으면, 예각삼각
형이 되지 않을 확률을 구하면 되지 않는가?
학생 : 아! 예. 맞습니다.
그 사건 A가 일어나지 않을 확률을 구할 때에는 전체 1에서 를 빼면 되
니까. 여기에서는 직각삼각형과 둔각삼각형이 되는 확률을 빼면 되는군요!
교사 : 그렇다. 그럼 직각삼각형과 둔각삼각형은 반원의 어느 위치에 있었나?
학생 : 모두 반원에 내접해 있거나 내부에 있었습니다.
교사 : 자. 그럼 그 확률은 어떻게 나오는가?
학생 : 모든 경우의 수가 반원의 내부에서 일어나므로 반원의 넓이만큼은 직각삼각
형과 둔각삼각형이 나올 확률이 됩니다.
교사 : 그럼 구해보아라.
학생 : 네. 반원의 반지름은 이므로 반원의 넓이 에 대입하면, 이
됩니다. 그럼 가 됩니다.
교사 : 모든 의문점이 해결된 것 같구나! 다시 물어보겠다. 한 변의 길이가 1인 정
사각형 ABCD 내부의 점 P를 임의로 택할 때, △ABP가 예각삼각형이 될 확
률은 어떻게 되는가?
학생 : 가 됩니다.
교사 : 각 단계가 정확하다는 것을 명확히 이해할 수 있는가?
학생 : 예, 그렇습니다.
교사 : 그것을 할 눈에 이해할 수 있는가?
학생 : 네.
교사 : 그럼 위의 문제를 다시 한 번 검토해보고, 위와 비슷한 문제를 상상하여 그
문제를 해결해 보아라.
<문제3>
한 변의 길이가 1인 정사각형이 있다. 이것을 아홉 등분하여 중앙의 정사각형을 제거하고, 나머지 정사각형을 다시 위와 같이 아홉 등분하여 정사각형을 제거한다. 이 과정을 무한번 반복하였을 때 제거된 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.
교사 : 미지수는 무엇인가?
학생 : 제거되는 정사각형의 넓이 입니다.
교사 : 데이터(자료)는 무엇인가?
학생 : 한 변의 길이가 1인 정사각형입니다.
교사 : 조건은 무엇인가?
학생 : 정사각형을 아홉 등분해서 나오는 아홉 정사각형 중에서 중앙의 정사각형을
제거하고, 나머지 정사각형을 또다시 아홉 등분하여 정사각형을 제거하는 것
을 무한번 반복하는 것입니다.
교사 : 적절한 표기를 도입하여 미지수를 무엇으로 하겠는가?
학생 : x로 하겠습니다.
교사 : 미지수 x를 해결한 후 또 해결 할 문제가 있는가?
학생 : 예. 있습니다. 문제에서 찾고자 하는 것은 제거된 정사각형의 넓이의 합을
구하는 것이므로, 무한번 시행을 하여 x의 합을 구해야 합니다.
교사 : 문제를 잘 이해했는지 그림으로 표현해 보아라.
학생 :
교사 : 이와 관련된 문제를 풀어본 적이 있는가?
학생 : 예. 칸토어집합을 배울 때 풀어보았습니다.
교사 : 자. 그럼 조건대로 정사각형을 아홉 등분하여 중앙의 정사각형을 제거해 보
도록 하자.
학생 : 예.
교사 : 한번 시행하고 만들어지는 정사각형의 변의 길이는 어떻게 되는가?
학생 : 정사각형 한 변의 길이가 1이므로 변의 길이는 이 됩니다.
교사 : 그럼 그 제거된 정사각형의 넓이는 어떻게 되는가?
학생 : 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 정사각형의 넓이는 (가로)×(세로)를
하면 되므로 이 됩니다.
교사 : 제거되는 정사각형의 개수는 몇 개인가?
학생 : 중앙의 정사각형 한 개입니다.
교사 : 자. 그럼 무한번 반복해봐야 하므로 한번 더 아홉등분 하여보자.
한번 더 시행 후 정사각형의 변의 길이는 어떻게 되는가?
학생 : 정사각형 한 변의 길이가 이므로 변의 길이는 이 됩니다.
교사 : 그럼 두 번째 시행에서 제거된 정사각형의 넓이는 어떻게 되는가?
학생 : 이 됩니다.
교사 : 제거된 정사각형의 개수는 몇 개인가? 이번에도 한 개만 나오는가?
학생 : 아닙니다. 8개가 나옵니다. (중앙의 정사각형도 처음에 제거되었으므로)
교사 : 그래. 지금까지의 계산에 실수는 없는가?
학생 : 예. 그렇습니다.
교사 : 그럼 세 번째 시행을 해보자. 세 번째 시행에서 만들어지는 정사각형의 변의
길이는 어떻게 되는가?
학생 : 두 번째 시행에서의 정사각형의 변의 길이가 이므로 변의 길이는
이 됩니다.
교사 : 정사각형의 넓이는 어떻게 되는가?
학생 : 한 변의 길이가 이므로 이 됩니다.
교사 : 세 번째 시행에서 제거되는 정사각형의 개수는 몇 개인가?
학생 : 8개 입니다.
교사 : 다시 한번 생각해 보아라. 그림을 그려 확인을 해보면 더욱 이해가 쉬울 것
이다.
학생 : (그림을 그려본 뒤)아~세 번째 시행에서 8개의 정사각형이 제거되는데 두
번째 시행에서 8개의 정사각형이 남아있으므로 이 되겠군요.
교사 : 그렇다. 그럼 자! 위의 계산의 결과를 보고 다시 한번 검토해보자.
학생 : 예.
교사 : 지금까지의 세 번의 시행에서 무엇을 느낄 수 있었는가?
학생 : …
교사 : 규칙성을 찾아보아라.
학생 : 잘 모르겠습니다.
교사 : 그럼 표를 만들어서 규칙성을 확인해 보자.
학생 : 네.
1회
1회
3회
…
변의 길이
…
넓이
…
개수
1
8
…
교사 : 규칙성을 찾을 수 있겠는가?
학생 : 네.
교사 : 그럼 그 규칙성을 일반화 시켜보아라.
학생 : n번 시행했을 때 정사각형의 넓이는 이 됩니다.
교사 : 그럼 제거된 정사각형의 넓이의 합을 식으로 표현해 보아라.
학생 : 이 될 것
같습니다.
교사 : 이 과정을 무한번 반복하게 되는데 합을 구할 수 있는가?
학생 : 이것은 무한 등비급수인 것 같습니다. 무한등비급수는 ｜공비｜<1이면 수렴
하게 됩니다.
교사 : 문제에서 등비는 무엇인가?
학생 : 입니다.
교사 : 등비는 수렴하는가? 발산하는가?
학생 : ｜｜<1 이므로 수렴하게 됩니다.
교사 : 그럼 무한등비급수의 합은 어떻게 구하는가?
학생 : 로 구했습니다.
교사 : 구해보아라.
학생 : 이 됩니다.
교사 : 수렴하는가?
학생 : 네. 1로 수렴합니다.
교사 : 처음 정사각형의 넓이가 1이었는데, 왜 제거했는데도 1이 나왔는가?
학생 : 정사각형의 모든 부분이 무한번 시행하여 제거되므로 모두 제거되어 결국
전체 1이 되는 것입니다.
교사 : 그래. 잘 풀었다. 이제 다시 한번 검토해 보자.

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폴리아,   문제해결지도법,   문제해결,   수학문제해결론