역격자에 대해

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역격자에 대해 에 대한 보고서 자료입니다.

목차

-역격자의 정의

-기하학적 해석

-면간거리와 역격자

-Miller index와 역격자 Vector

-역격자Vector로 표현한 -Bragg반사표현

-역격자를 이용한 Bragg`s law의 해석

-역격자를 이용한 Laue condition의 해석법

-역격자와 X선 회절의 관련성

-역격자점들의 회절점으로 기록

본문내용

방향을 중심으로 원뿔(cone)을 형성한다. 2차원적 배열에서는 한방향으로는 주기 a, 다른 한 방향으로는 주기 b를 가지고 규칙적으로 배열 되어 있는 원자들을 가정하면
b·(S - So ) = h λ
a·(S - So ) = h λ
의 상을 동시에 만족하야지만 회절이 발생한다. 즉, 각각의 식을 만족하는 2개의 원뿔이 교차하는 2개의 직선상에서만 회절조건을 만족시킨다.
따라서 3차원적으로 배열된 원자들의 경우에는 다음의 조건을 만족시켜야 회절이 발생한다.
a·(S - So) = hλ
b·(S - So) = kλ
c·(S - So) = lλ → 3 Laue conditions
cones이 만나는 한 직선상에서만 회절조건을 만족하고 이 방향이 회절된 비임의 방향이 된다. 이제 Laue condition을 역격자에서 생각해보면, 역격자벡터 R = pa* + qb* + rc*이 R = (S - So)/λ 를 나타낸다고 하며, p, q, r 은 임의의 값으로서 a·R = p , b·R = q , c·R = r 로서 구할수 있다. R 대신에 (S - So)/λ를 대입하면
a·((S - So)/λ) = p = h
b·((S - So)/λ) = q = k
b·((S - So)/λ) = r = l
R = pa* + qb* + rc*에 대입하면
S - So)/λ = ha* + kb* + lc* = σhkl
따라서 (S - So)/λ 벡터와 σhkl 벡터가 동일한 벡터로서 방향이 같고 기울기가 같다.
(S - So)/λ 벡터와 σhkl 벡터는 결정면 (hkl)에 수직하고 입사비임 So/λ와 산란된 비임 S/λ는 (hkl)면에 대하여 같은 각도 θ를 유지한다.
|(S - So)/λ | = |σhkl | = 1/dhkl 이고 |S - So| = 2sin θ이므로
(1/λ) x |S - So| = (1/λ)2sinθ = 1/dhkl
∴ 2dhkl sinθ = λ 으로서 Laue condition 과 Bragg's law는 동일하다.
역격자와 X선 회절의 관련성
입사X선(Incident X-Rays)의 조사영역 안에 2가지 이상의 결정입자가 존재하는 다결정체 에서는 일반적으로 다수의 결정입자가 여러방향으로 향하고 있으므로, 시료에 조사되는 X선(Incident X-Rays)의 방향은 문제가 되지 않는다. 그렇지만, 입사X선(Incident X-Rays)의 조사영역 안에 단일 결정이 존재하는 경우에는 입사X선(Incident X-Rays)의 방향과 결정의 방향과의 관계는 회절X선(Diffracted X-Rays)을 발생시키는 중요한 조건이 된다. 결정격자에 의한 X선의 회절(X-Ray Diffraction)현상을 쉽게 이해하기 위하여 역격자(reciprocal lattice)의 개념을 도입해 보자. 이것은 1921년 Ewald가 유도한것으로 처음에는 추상적이고 부자연스럽게 생각되었으나 지금은 X선 회절(X-Ray Diffraction)현상을 이해하는데 불가결한 것이 되었다.
역격자점들의 회절점으로 기록
결정회절을 분석할 때에는 역격자(Reciprocal lattice)로 생각해야 한다. 역격자에서는 차원(dimension)이 실격자의 역수로 나타나며, 실격자에서의 결정면이 역격자에서는(즉, 회절패턴에서) 점으로 나타나며, 또 실격자에서의 결정면의 방향이 역격자에서는 면에 대한 법선으로 나타난다.
회절강도의 최대값(diffraction spots)은 3개의Laue equations이 만족되거나 혹은Bragg 조건이 민족될 때 나타난다. 이 조건은 아래의 그림과 같이 역격자점이 정확하게 Ewald sphere에 놓일 때 성립한다
그림에서 볼 수 있듯이 역격자점이 정확하게 Ewald sphere위에 놓일 확률이 낮으므로 결정시편을 회전시킨다. 그러면 역격자점들이 회전하여 보다 많은 역격자점들이 Ewald sphere와 교차할 수 있다. 위의 그림에서 역격자점들을 회전시키면 처음에는 (101)와 (10-1)가 회절되고 조금 더 회전시키면 (201)역격자점이 Ewald sphere위에 놓이게 되어 회절spot을 형성한다.
***역격자점들이 회절점으로 기록되기 위한 조건
1.시편을 세로축(omega axis)주위로 회전시켜서 역격자점들이 Ewald sphere를 교차하여 야 한다.
2.역격자점들이 결정시편의 resolution sphere내에 놓여야 한다.
3.회절된 비임이 detector에 기록되어야 한다.
역격자점 A : 위의 3가지 조건을 모두 만족시켜 회절점이 기록됨.
역격자점 B : Ewald sphere 나 Resolution sphere 내에 위치하지만 경계점 에 있어서 약한 회절강도값을 갖지만 detector에 이르지 못하 므로 기록되지 않는다.
역격자점 C : Resolution sphere 내에 위치하지만 Ewald sphere를 교차하 지 않는다.
역격자점 D : Ewald sphere내에 위치하지만 결정시편의 diffraction limit바 깥에 위치하므로 회절이되지 않는다.
X선 회절을 시키면 이와 같은 기록을 볼 수 있다.
여기서 점 하나가 한 결정면의 역격자점 이다.
Bragg law 식을 격자면의 거리(d)로 정리해주면 다음과 같다
역격자 원점으로부터의 거리는 실격자에서 면간거리의 역수 (1/d)이기 때문에 여기서 1/d 값이 작다는 의미는 각각의 결정면에 따라 나타나는 역격자 점들간의 거리가 좁다는 뜻이 된다.
다시 해석하면 X선에 회절 되는 결정면들의 간격(d)이 크면 클수록 나타나는 점들의 밀도가 높다는 것이다.
따라서 위 식의 변수 값이 클수록 d 값이 작아지므로 Reflected 된 점들의 밀도는 낮아지게 되고 값이 작아지면 d 값은 커지므로 점들의 밀도는 높아지게 된다.
그래프를 보기 만해도 Reflected의 밀도가 낮은 밀러지수는 결정면간 거리(d)가 작은 면인 걸 알 수 있다.
***참고문헌
X선회절 제3판- 고은택譯 진샘미디어 2001
X선회절의 기초- 한명희著 동명사 1996
결정학 개론- 정수진 반도출판사 1997
고분자의 구조와 형태학- 이석현 지음 민음사 1992
고체 물리학- 김형국등 편저 청문각 1991

키워드

역격자,   Bragg,   vector,   Miller,   기하학적