조선시대의 산학서 에 나타난 수학 문제 해결에 대한 고찰

목차

I. 들어가는 말

II. 구일집 제1권의 문제들

III. 구일집 제 2권의 문제들

IV. 맺음말

본문내용

d가 있어
⇔
이면 인 관계가 성립하여 a와 b의 비는 저자가 언급한대로 7 : 5이고 문제는 d=8인 경우이다.
2-1-18 지금 갑, 을, 병, 정, 무 다섯 사람이 돈을 같은 차등을 두어 고르게 갖는다. 갑, 을은 71문을 차등을 두어 갖고, 정, 무는 53문을 같은 차등을 두어 고르게 갖는다. 병과 순차적인 차등은 얼마인가?
답: 갑 37문, 을 34문, 병 31문, 정 28문, 무 25문
풀이: 71문에 정, 무 두 사람이므로 2를 곱한다.[저자 주: 142] 또 53문에 갑, 을 두 사람이므로 2를 곱한다.[저자 주: 106] 위의 수를 많은 쪽에서 적은 것을 빼면 36이다. 이것은 차등 하나로 나누어지는 수이다 한편 갑, 을, 정, 무 네 명이므로 4의 반은 2이고 5명에서 2명을 빼면 3명이다. 또 갑, 을 2명과 정, 무 2명에서 서로 곱하면 4가 되고 이것을 3에 곱하면 12이다. 이것을 나누는 수로 하여 앞의 36을 나누면 3문이 얻어져 이것이 차등 하나이다. 갑, 을이 나누어 갖는 돈 71문에 3을 더하여 2로 나누면 갑이 갖는 돈이 나온다. 여기에서 3문씩 빼어 나가면 된다.
별해: 갑, 을이 나누어 갖는 돈 71문에서 정, 무가 나누어 갖는 돈 53문을 빼면 18문이고 이것은 차등이 6 있는 것과 같다. 따라서 6으로 나누면 역시 차등을 안다.
이 문제는 등차수열의 문제이다. 공차를 의미하는 같은 차등을 d라 하면, 병의 몫을 a라 할 때 갑, 을, 병, 정, 무는 각각 a+2d, a+d, a, a-d, a-2d 만큼 갖는다.
그런데 (a+2d)+(a+d)=71
(a-2d)+(a-d)=53
이므로 이 식을 풀면, a=31, d=3이다. 즉 병의 몫이 31이고 같은 차등 3씩을 빼고 더해나가면 된다.
별해의 방법은 무를 a라 하면, 갑, 을, 병, 정, 무는 a+4d, a+3d, a+2d, a+d, a이므로 갑, 을의 합과 정, 무의 합의 차가 6d임을 이용한 것이다. 이 문제에 이어지는 네 개의 문제(항이 7, 9, 12개)에서도 마찬가지로 적용되고 있는 옛날 사람들의 해법 알고리즘이 매우 흥미롭다. 이 알고리즘을 정리하면 다음과 같다:
등차수열의 앞 n항의 합 S와 뒤 m항이 합 T가 주어졌을 때 공차 d를 구하는 방법:
1. S와 m의 곱을 구한다.
2. T와 n의 곱을 구한다.
3. 두 곱의 차를 구한다.
4. n+m의 반을 전체 항의 개수에서 뺀다.
5. n과 m을 곱하여 4에서 구한 수에 곱한다.
6. 이 수로 3에서 구한 수를 나누면 그것이 공차이다.
제 2절 : 차등균배문(差等均配門) 18문제: 주어진 일정한 물건의 양을 정해진 비에 따라 나누는 문제가 실려 있다.
2-2-2 지금 갑, 을 병, 세 사람이 돈 100냥을 나눈다. 을은 갑의 8분의 7이나 병보다는 10냥이 많다고 한다. 각각 얼마씩 갖는가?
답: 갑 40냥, 을 35냥, 병 25냥
풀이: 100냥에 10냥을 더하면 110냥이고 이것을 나누어지는 수로 한다. 또 22를 나누는 수로 하여 나누면 5냥이 얻어지고 이것을 8배하면 갑이 갖는 돈, 7배하면 을이 갖는 돈이고 을이 갖는 돈에서 10냥을 빼면 병이 갖는 돈이다.[저자 주: 22라는 수는 갑이 8일 때 을이 7, 병이 7이기 때문이다. 병이 7인 것은 10냥을 더하였기 때문이다.]
문제에서 “갑, 을, 병 세 사람이 돈 100냥을 갑 : 을은 8 : 7이고 을은 병보다 10냥 많다.”로 배분하는 방법은 “돈 100냥에 10냥을 빌려와서 돈 110냥을 갑, 을, 병 세 사람이 8 : 7 : 7로 나눈 후에 병이 빌려 온 돈 10냥을 돌려준다“는 방법과 동치이다.
제 3절 : 귀천반율문(貴賤反率門) 3문제: 중국의 산경에서 귀천반율이란 물건을 살 때 1의 차이가 있을 때를 말하였다. 이러한 경우는 우리의 일상 생활에서는 거의 없는 예외적인 상황으로서, 귀천반율문의 문제들은 가상의 상황일 뿐이다.
2-3-3 지금 돈 133냥으로 말을 30마리 사고자할 때 귀천율에 따른다고 생각하면 한 마리 값과 각각은 얼마인가?
답: 양마 한 마리 값 5냥, 모두 13마리, 그 값은 65냥
노마 한 마리 값 4냥, 모두 17마리, 그 값은 68냥
풀이: 돈의 액수를 말 30필로 나누면 4냥을 얻고 나머지가 13냥이다. 따라서 4냥의 말과 5냥의 말을 살 때 나머지가 13냥이므로 5냥의 말은 13마리이다. 당연히 4냥의 말은 17마리이다.
말 30필에 귀천율을 적용하여 값이 1냥 차이 나는 두 종류의 말을 모두 같은 값 4냥으로 생각하여 계산하고 남은 나머지 13을 1냥 비싼 말에 돌리는 아이디어가 적용된 것이다.
IV. 맺음말
구일집과 같은 산학서의 서술 방식의 특징은 문제를 제시하고 그 답과 풀이법을 제시하는 것이다. 문제와 답만이 적혀있고 그 풀이법에 대해서는 일체의 언급도 하고 있지 않다는 이집트의 파피루스에 비하면 나은 상황이지만, 계산 절차와 관련된 수학보다는 개념 이해 지향적인 요즘의 수학교육의 경향에서 볼 때 이와 같은 자료의 가치가 하향 평가될 우려가 있다.
그러나 오늘날의 풀이법과는 많은 차이가 발견되는 문제들을 교실 수업에서 활용할 때 교육적 가치는 배가될 것이다. ‘왜 그러한 풀이법을 생각하였을까?, 그러한 풀이법은 타당한 것인가? 오늘날의 방법과 차이는 무엇일까?’등과 같은 질문을 하면서 풀이법의 근거 및 이유를 찾아가는 활동, 여러 풀이법을 비교하고 더 나은 것을 선택하는 활동 등은 옛 자료에 근거하여 오늘 날 학교 수학 수업에서 충분히 활용할 수 있는 기회를 제공할 것이다.
한편 문제 중에는 주어진 답을 얻기에 조건이 불충분한 것, 즉 조건불비의 문제가 꽤 발견된다. 나아가 풀이가 적절하지 않은 불합리한 문제도 있다. 답을 유일하게 결정하기 위해 첨가해야 할 조건에 대한 생각과 논의, 그리고 올바른 풀이를 작성하는 것은 사고력과 의사소통의 활성화에 기여할 것이다. 뿐만 아니라 오늘날의 용어와 차이가 있는 수학 용어들을 살펴봄으로써 그 용어의 개념을 보다 명확히 하는 기회가 될 것이다.y
참고 문헌
홍정하(조선숙종). 구일집. 한국과학기술사자료대계 수학편2. 여강출판사. 서울대학교 도서관 소장

키워드

신학서,   구일집,   수학