공통수학 삼각함수

목차

제1장. 삼각함수의 정의

§1. 호 도 법

§2. 일반각의 정의

§3. 일반각의 삼각함수

제2장. 삼각함수의 기본 성질

§1. 삼각함수의 기본 공식

제3장. 삼각함수의 그래프

§1. 사인, 코사인, 탄젠트의 그래프

§2. 삼각함수의 최대, 최소

제4장. 삼각방정식과 부등식

§1. 삼각방정식

§2. 삼각부등식

제5장. 삼각함수의 응용

§1. 사인법칙

§2. 코사인법칙

§4. 삼각함수의 응용

본문내용

(2) (3)
(풀이) (1) 일 때 , 일 때
그래프는 아래 그림과 같고, 주기는 없다.
(2) 의 그래프에서 축의 아래 부분을 꺾어 올린다.
(3) 로 놓고, 의 그래프를 그린 다음, 두 그래프를 합성하여
그린다.
(그림)
§2. 삼각함수의 최대, 최소
삼각함수의 최대, 최소
(ⅰ) 한 종류의 삼각함수로 통일시킨다.
(ⅱ) 또는 또는 를 로 치환시킨다.
(ⅲ) 주어진 의 범위를 의 범위로 바꾼 다음, 치환한 함수
(보통 이차함수)의 최대, 최소값을 구한다.
【ex. 1】함수의 최대값과 최소값을 구하여라.
(풀이)
여기서 로 놓으면
한편, 이므로
따라서 일 때 최대값은 , 일 때 최소값은 이다.
【ex. 2】함수 의 최대값과 최소값을 구하시오.
(풀이) 에서 로 놓으면
㉠
이므로
㉠의 그래프는 의 그래프를 축 양의 방향으로 만큼,
축 양의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 오른쪽 그림에서
일 때 최대값은 , 일 때 최소값은 이다.
제4장. 삼각방정식과 부등식
§1. 삼각방정식
삼각방정식의 특수해와 일반해
삼각방정식을 만족하는 해 중에서 각의 제한이 있을 경우의 해를 특수해라 하고,
각의 제한이 없는 경우의 해를 일반해라고 한다.
【ex. 1】다음 방정식을 풀어라. (단, )
(1) (2) (3)
(풀이) (1) 의 그래프를 그려서
인 의 값을 에서 구하면
또는 아래의 그림과 같이 사분면을 그려서
인 의 값을 찾아도 된다.
(2) 의 그래프를 그려서
인 의 값을
에서 구하면
또는 사분면을 그려서 인
의 값을 찾아도 된다.
(3) 사분면에서 인 의 값을
에서 찾으면
삼각방정식의 해법
(ⅰ) 한 종류의 삼각함수로 통일시킨다.
(ⅱ) 인수분해하여 의 꼴로 푼다.
(ⅲ) 주어진 범위에서 를 구한다. (즉, 특수해를 찾는다.)
【ex. 2】다음 방정식을 풀어라. (단, )
(1) (2)
(풀이) (1) 에서
또는
(2) 에서
①의 양변을 제곱하면
,
,
삼각방정식의 일반해
특수해를 라 하고, 을 임의의 정수라 할 때,
(1)의 일반해는 ⇒
(2)의 일반해는 ⇒
(3) 의 일반해는 ⇒
【ex. 3】(1)의 일반해는 (은 정수)
의 일반해는 (은 정수)
(2)의 일반해는 (은 정수)
(3)의 일반해는 (은 정수)
의 일반해는 (은 정수)
§2. 삼각부등식
삼각부등식의 해법
삼각방정식과 해법은 같으나 삼각방정식은 주로 그래프나 사분면을 그려서 해당하는
각을 찾으면 되지만, 삼각부등식은 범위를 구해야 하기 때문에 반드시 그래프를 그려서
해당하는 범위를 구하는 것이 편리하면서도 정확하다.
【ex. 1】다음 부등식을 풀어라. (단, )
(1) (2) (3)
(풀이) (1) 의 그래프를 그려서 이것이
직선 보다 위에 있는(축과 만
나는 점도 포함) 의 범위를 구한다.
(2) 의 그래프를 그려서 이것이
직선 보다 아래에 있는 의 범위
를 구한다.
(3) 같은 방법으로 구한다.
【ex. 2】다음 부등식을 풀어라. (단, )
(1) (2)
(풀이) (1) 와 의 그래프를 각각
그려서 의 그래프가 의 그래
프보다 위에 있는 의 범위를 구하면
(2) 에서
진수는 양수이어야 하므로
이므로
제5장. 삼각함수의 응용
§1. 사인법칙
사인(sine)법칙
삼각형의 세 각의 크기와 세 변의 길이 및 외접원의 반지름
사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
[참고] 사인법칙의 활용
(1) ☜ 각을 변으로
(2) ☜ 변을 각으로
(3) ☜ 변의 비를 각의 비로
【ex. 1】에서 일 때, 를
구하여라.
(풀이) 이므로
【ex. 2】를 만족하는는 어떤 삼각형인가 ?
(풀이) 사인법칙에 의하여 를 변의 식으로 바꾸면
따라서, 는 인 이등변삼각형이다.
【ex. 3】다음 삼각형를 풀어라.
(1) (2)
(풀이) (1)
에서
에서
<참고>
(2) 에서
인 경우는
인 경우는
<주의> 이 때에는 삼각형이 한 가지로 결정되지 않는다.
§2. 코사인법칙
제일 코사인법칙
두 변의 길이와 양밑각을 알고, 제삼의 변의 길이를 구할 때 이용한다.
【ex. 4】일 때,
(풀이) 제일 코사인법칙에 의하여
제이 코사인법칙
두 변과 사이각을 알고, 제삼의 변의 길이를 구할 때 이용한다.
[참고] 제이 코사인법칙의 활용
, ,
세 변의 길이를 모두 알고, 각을 구할 때 이용한다.
【ex. 5】다음 삼각형을 풀어라.
(1) (2)
(풀이) (1) 제이 코사인법칙으로부터
이므로
또, 사인법칙으로부터
여기서, 가 되나 만이 적합하다.
(2) 제이 코사인법칙으로부터
삼각형의 해법에 관한 종합 정리
(1) 세 변의 길이가 주어질 때 ⇒ 제이 코사인법칙
(2) 두 변과 사이각이 주어질 때 ⇒ 제이 코사인법칙과 사인법칙
(3) 한 변과 두 각이 주어질 때 ⇒ 사인법칙
(4) 두 변과 한 각이 주어질 때 (주어진 각이 사이각이 아닐 때) ⇒ 사인법칙
( 이 때에는 삼각형이 하나로 결정되지 않을 수도 있다.) <앞의【ex. 3】(2)>
§3. 삼각형의 넓이
삼각형의 넓이
(1) 두 변과 사이각이 주어질 때, 삼각형의 넓이는
(2) 세 변의 길이가 주어질 때, 삼각형의 넓이는
(단, )
이 공식을 헤론(Heron)의 공식이라고 한다.
(유도) (1) 오른쪽 그림과 같이 삼각형에서 두 변의 길이
와 사이각가 주어졌을 때, 꼭지점에서 변에 수선를
내리면 삼각형의 넓이는
가령, 두 변의 길이가 이고 사이각이 인 삼각형의 넓이
는 이다.
[참고 1] 삼각형의 세 꼭지점의 좌표가 주어질 때의 삼각형의 넓이 공식
【ex】세 꼭지점의 좌표가인 삼각형의 넓이 는
[참고 2] 넓이를 이용한 외접원과 내접원의 반지름 공식
삼각형의 넓이를, 외접원의 반지름을 ,
내접원의 반지름을 이라 하면
(1)에서
(2)에서 (단,)
<유도>
(1) 삼각형의 넓이에서를 대입하면
(2) 오른쪽 그림에서 삼각형의 내심을라 하면
사각형의 넓이 공식
(1) 평행사변형의 넓이
이웃한 두 변의 길이가 각각 이고, 어느
한 각이 인 평행사변형의 넓이는
(2) 두 대각선의 길이가 각각 이고, 대각선
이 이루는 각이 인 사각형의 넓이는
§4. 삼각함수의 응용

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