싸이클로이드(cycioid)

본문내용

점에서 출발하더라도 도달하는 데 걸리는 시간이 같게 되는 성질을 갖는다. 즉, <그림 1>에서 보면 A에서 B사이의 곡선은 사이클로이드인데 가장 아래 지점인 C까지 진자가 내려오는 데 걸리는 시간은 이 사이의 어떤 지점에서 출발하더라도 같다. 따라서 등시곡선을 따라 움직이는 사이클로이드 진자는 진폭에 상관없이 일정한 주기를 갖게 되는 것이다.
역학적 에너지 보존의 법칙을 이용하여 등시성을 다음과 같이 증명할 수 있다.
각 매개변수 방정식의 도함수를 구해 보면
이고,
이다.
역학적 에너지 보존의 법칙에 의하여
즉,
만약, 최대 정점의 높이에서 출발하지 않고 경로위의 한 점에서 출발한다면(즉, 원이 회전한 각의 양 이 인 점에서 출발)
즉,
여기서, 이므로
라 두면 이므로
식은 가 된다.
[문제 ]
다음 물음에 답하시오.
1. 동점 P의 좌표 가 를 매개변수로 하여 로 나타내어질 때, 에서 접선기울기를 구하여라.
2. 동점 P의 좌표 가 를 매개변수로 하여
로 나타내어질 때, 점 가 그리는 곡선이 위로 볼록한 그래프가 됨을 보이시오
3. 동점 P의 좌표 가 를 매개변수로 하여
로 나타내어질 때, 점 가 그리는 곡선과 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
4. 동점 P의 좌표 가 를 매개변수로 하여
로 나타내어질 때, 점 가 그리는 곡선의 길이를 구하여라
5. 동점 P의 좌표 가 를 매개변수로 하여
로 나타내어질 때, 점 가 그리는 곡선과 축으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전할 때 생기는 입체의 부피를 구하여라.
[2005 서울대]
[문제 ]
다음 그림과 같이 평면위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 고정된 원와 의 안쪽으로 내접하면서 구르는 중심이 이고 반지름이 인 원 가 미끄러지는 일 없이 구를 때, 구르는 원의 원주 상의 한 정점 가 그리는 별 모양의 곡선을 아스테로이드(asteroid)라고 한다. 다음 물음에 답하시오. (단, 점 의 처음 출발 위치는 이다.
1. 양의 축과 중심선이 이루는 각을 라 할 때, 점 의 자취를 에 관한 함수 로 나타내면, 다음과 같음을 보이시오. (중심선이란 원점과 구르는 원 S의 중심을 잇는 선을 의미한다.)
2. 일 때, 점 의 자취로 이루어진 곡선의 개형을 그리시오
3. 일 때, 점 의 자취로 이루어진 곡선의 길이를 구하시오.
4. 일 때, 점 의 자취로 이루어진 곡선을 축 둘레로 회전시켜 얻은 회전체의 체적을 구하시오.
[2006 서울대정시 (asteroid)]
5. 좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 와 점 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 가 있다. 점 에서 원 에 접하고 있던 원 가 원 의 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 미끄러지지 않게 굴러갈 때, 두 원 가 점 에서 다시 접할 때 까지 점 에 있던 원 위의 점 P가 그리는 곡선의 길이를 구하시오.
[문제 ]
다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오. (50점)
일변수 함수로 직선 위의 움직임을 표현하는 데는 충분하지만 평면에 있는 점 의 움직임을 표현하기에는 부족하다. 예를 들어 인공위성의 이동을 추적하려 한다면 시간의 변화에 따른 인공위성의 위치를 알아야 한다. 이때 좌표를 설정하고 시간 를 매개변수로 사용하여 위성의 위치를 나타내는 점 의 움직임을 방정식 로 표현할 수 있는 데 이러한 방정식을 매개변수방정식이라 한다.
놀이공원에서 볼 수 있는 오른쪽 [그림1]과 같은 스크램블러(scrambler)는 회전하는 두 팔로 구성되어 있다. 길이가 인 안쪽 팔은 반시계방향으로 회전한다. 이 경우 각속도가 라고 가정하면 안쪽 팔 끝점의 위치는 매개변수방정식 로 나타낼 수 있다. 안쪽 팔 끝에서는 한 쪽의 길이가 인 바깥쪽 팔이 시계방향으로 회전한다. 이 스크램블러의 바깥쪽 팔의 회전 속도는 안쪽 팔 회전 속도의 세 배라고 한다. [그림 1]과 같은 상태에서 바깥쪽 팔의 오른쪽 끝점에 한 사람을 태우고 스크램블러가 움직이기 시작하였다.
［1-1] 안쪽 팔의 각속도가 라고 할 때, 스크램블러의 안쪽 팔이 한 바퀴 회전하는 동안에 타고 있는 사람의 움직임을 나타내는 매개변수방정식을 구하고, 그 그래프를 좌표평면에 그리시오. (10점)
［1-2］위 문제［1-1]에서 구한 매개변수방정식을 이용하여 스크램블러에 타고 있는 사람의 속력이 인 시각을 모두 구하고, 문제［1-1]에서 그린 곡선의 길이를 구하시오. (20점)
［1-3］위 문제［1-1]에서 그린 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. (20점)
[2012 연대원주 의예]

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