[전산수치해석] LRC회로를 수치해석으로 구현

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[전산수치해석] LRC회로를 수치해석으로 구현에 대한 보고서 자료입니다.

목차

[전산수치해석] LRC회로를 수치해석으로 구현



문제
* exact solution :
* 지배 방정식
* 사용할 수치 공식


1. 이전의 기울기를 바탕으로 나아간후 사다리꼴 적분공식을 이용해서 적분을 수치적으로 구현한뒤 RK4 방법으로 i(t)를 구하는 프로그램 알고리즘

2. 위에서와 같은 방법인데 적분을 합성simpson1/3 공식으로 구현한 알고리즘

3. 미분항을 전진차분으로 구현한 프로그램 알고리즘

* 결과 분석 및 토의

본문내용

00]={0};
double m[400]={0};
double sum[400]={0};
double g[400]={0};
double realy=0;
double error100=0;
double inew=0,iold=0;
double a1=0;
double k1,k2,k3,k4,h=0.1;
ofstream fout("data.txt");
void func(int j);
int main()
{
for(int j=1; j<=35; j++)
{
func(j);
sum[j+1]=(m[j+1]+m[j])*h/2+sum[j];
inew=m[j];
inew=2*inew-iold;
i[j+1]=inew;
g[j]=(i[j+1]+m[j])*h/2+sum[j];
iold=m[j];
}
for(j=0; j<=30; j++)
{
realy=5*exp(-2*(j*h))*sin((j*h));
error100=fabs((realy-m[j])*100/realy);
fout< fout< fout< }
return 0;
}
void func(int j)
{
m[j]=(-4*m[j-1]+5-5*g[j-1])*h+m[j-1];
}
* 수치해와 정확해 비교
다양한 수치해와 정확해의 비교
다양한 수치해와 정확해의 비교(부분 확대 그래프)
RK4의 h변화에 따른 치해비교
전진차분의 h변화에 따른 수치해비교
* 수치해와 정확해 백분율 오차 비교
다양한 수치해와 정확해의 백분율 상대 오차 비교
다양한 수치해와 정확해의 백분율 상대 오차 비교(부분확대)
RK4의 h변화에 따른 백분율 상대 오차 비교
RK4의 h변화에 따른 백분율 상대 오차 비교(확대)
전진차분의 h변화에 따른 백분율 상대 오차 비교
전진차분의 h변화에 따른 백분율 상대 오차 비교(확대)
* 결과 분석 및 토의
이번 프로젝트에서 L-R-C회로를 모델링하여 미분적분방정식을 세우고, 전류 i(t)값을 구하기 위해, 수치해석 기법으로 방정식을 해결해 보려고 하였다. 방정식에 미분방정식과 적분방정식 항이 함께 있어, 방정식을 푸는 문제가 쉽게 해결되지 않았다. 그래서 적분텀을 우변으로 보내, 미분방정식을 푸는 문제로 간략화시켜고, 수치적인 방법으로 우변의 적분텀을 근사적으로 해결하기로 하였다. 상미분방정식으로 변환하여, 해석해를 구해보았다.
적분텀을 해결하기 위한 방법으로는 미소구간에 대해 사다리꼴 공식과 합성simpson 1/3 공식을 이용하였고, 이전 기울기 값의 경향성을 정보로 다음 점을 정하는 방법을 사용하여 전류 i(t)값을 수치적으로 구하였고, 이렇게 얻은 전류 i(t)값을 적분항에 대입해 미분방정식을 RK4방법과 전진차분 방법으로 수치해를 구하였다.
위의 방법에서 전기울기와 똑같이 나간것과 7:3으로 가중치를 부여하여 구한 적분값을 구해 수치적으로 비교해 보았다. 또한 구간 간격을 변화시켜 절단오차를 비교해 보았다.
exact solution 과 수치해를 비교해 보면, 수치해의 전류 i(t)값이 더 크게 측정 되었다. 그 이유를 생각해 보면 우리는 이전기울기에 의존해 다음 i(t)을 구하는 알고리즘을 작성하였는데 참해 그래프를 보면 처음에는 점차 피크점까지 기울기가 감소하는데 우리가 구현한 알고리즘에서는 이전기울기를 바탕으로 나아가기 때문에 i(t)가 참해보다 더 크게 나온 것으로 생각된다.
사다리꼴공식으로 적분을 해결한뒤 각각 RK4와 전진차분방법으로 수치해를 구한결과를 비고해보면 이론상으로는 RK4의 절단오차가 O()에 비례하고 전진차분은 O(h)에 비례하지만 그래프상에서는 그렇지 않았다. 참해의 피크점까지는 예상했던 결과대로 RK4를 이용한 방법이 좀더 정확성을 가지지만 피크점 이후로는 전진차분의 방법이 좀더 정확성을 가지는 것을 볼수 있다. 이것은 RK4 방법이 기울기가 급격히 변하는 피크점이나 최소점에서 약점을 가진다고 생각할 수 있다.
RK4 방법에서 h를 변화시켜 구한 수치해를 보면 이상하게도 h가 큰값에서 더 정확한 값을 가지는 구간이 넓게 나왔다. 보통 h를 줄이면 정확도가 증가하게 되는데 여기서는 정확도가 떨어지는 구간이 발생했다. 이유를 생각해보면 적분항에서 찾을수 있다. 만약 적분값이 아주 정확한 값이라면 당연히 h=0.05로 했을 때가 더 정확한 값이 나오겠지만 우리는 적분값에서 오차가 있었고 또한 적분값을 구할 때 RK4에서 구한 i(t)값을 받아서 다시 나아간뒤 적분을 수행하기 때문이다. 구간 간격이 줄어들면 그만큼 정확하지 않은 값이 미분-적분항을 해결하기 위해 주고 받게 되고 그만큼 연산 횟수만큼 오차는 계속 누적되기 때문에 이런 결과가 나온것 같다.
지금까지 수치해석 기법을 통한 문제 해결을 프로젝트 과제로 수행해 보았다.
전진차분과 RK4에 의해 미분항을 해결하고, 사다리꼴 적분 공식과 합성심슨1/3공식에 의해 적분항을 해결하는 방법으로 적분항과 미분항을 수치적으로 해결했다.
한 가지 방법으로 알고리즘을 구현해 볼 때마다 그래프를 그려 비교해 보면서 경향성을 분석하며, 수치적인 방법의 아이디어를 선택하여 적절한 방법을 선택하였다면 좀 더 정확한 분석을 할 수 있었을 것으로 생각된다. 그러나 방법을 미리 정해 놓고, 막연하게 나온 결과와 그 그래프를 최종적으로 분석을 하였더니 이론적으로예상했던 우리 생각과는 다르게 결과가 나왔다. 방법을 달리해도 수치해가 너무 비슷하게 나와서 여러 가지 방법을 고안해서 차이가 얼마나 나는가를 비교해 볼려고 했던 의도에서 약간 벗어난 듯 하여 아쉬움이 남는다.
이상으로 프로젝트 수행을 하며, 문제 해결을 위한 모델링을 하여 수치적인 기법으로 문제를 해결하기 위해 지금까지 배웠던 다양한 수치 해석 기법을 적용해 보았다. 문제 해결에 있어서 주제 선정이나 모델링도 중요하지만, 본질적으로 중요한 것은 우리가 해결하려는 문제의 의도에 맞게 적합한 수치 기법을 선택하고 적용하고, 그 타당성을 입증하는 것이라는 생각을 하게 되었다.

키워드

전산수치해석,   LRC회로,   수치해석,   알고리즘,   LRC,   미분항,   회로,   수치해석으로 구현