노튼의 정리 증명

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노튼의 정리 증명에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

닌 등가회로에서 사용한 것처럼, 그려진 회로에서 노튼 등가전류와 저항에는 노튼의 앞머리 첫자를 첨자로 보통 사용한다. VN( 노튼의 등가 전류 ), RN( 노튼의 등가 저항 )
노튼의 정리는 제 분야인 전기전자 분야에서 푸대접을 받아 온 것이 사실이다. 테브난의 정리를 이용해 등가회로를 바꾸면 간단한 조작만으로 노튼의 등가회로가 그려지기 때문에, 테브난의 정리에 비해 관심 밖이었다. 대개 테브난 정리와 쌍으로 생각할 수 있다는 한마디로 대충 넘기는 것이 노튼의 정리였다.
지금은 테브난에서 노튼으로의 등가변경이 어렵지 않지만, 테브난의 정리가 발표되고 40년이 지나 노튼의 정리가 이루어진 것을 보면 쉽지 않은 작업이었다는 것을 미루어 짐작 할 수 있다. 물리학에서는 플랑크의 양자가설( 1900 )에서 디랙의 양전자예언( 1929 )까지 물리학을 뒤흔든 30년이라고 하는데, 그 보다 긴 시간이 필요했다는 것은 좀 아이러니해 보인다. 회로이론을 세우는 것에 별로 관심이 없었는지, 양자역학 보다 더 어려웠는지 궁금한 이유를 뒤로 하고 노튼의 등가회로는 어떻게 그려지는지 살펴본다.
에드워드 로리 노튼 ( Edward Lawry Norton )의 이름은 딴 노튼의 정리는 그가 벨연구소의 연구원으로 41년간 재직중 초기인 1926년에 발표한 것이라고 하고, 지멘스 할스케의 연구원 한스 페르디난트 마이어도 독자적으로 발표했다고 전해진다.
테브난 등가회로를 구하는 방법과 같이 노튼의 등가회로를 구하기 위한 방법도 두 가지가 제시된다.
① 부하저항이 있는 두 단자 a-b를 단락 ( short )하고, 이때 흐르는 전류을 구해
IN이라고 둔다.
② 부하를 제외한 회로망 안에서 독립 전압원은 단락시키고, 독립 전류원은 개방
시켜, a-b 단자에서 바라본 저항을 구해 RN 이라고 한다.
약식증명으로 사용될 회로는 테브난 등가회로를 증명할 때 썼던 회로를 그대로 가져 오기로 한다. 왜냐하면 노튼의 정리대로 등가회로를 구성해도 부하에 흐르는 전류는 동일해야 하므로, 만약 동일 하다면 노튼의 정리도 함께 증명 되는 것이기 때문이다. 식을 조립하고, 전개해 나가는 모양은 테브난의 정리를 약식증명 했을 때와 비슷하다. 따라서 테브난의 약식증명을 연습장에 한번 써 보았으면 흘러가는 것이 비슷해 눈으로 대충봐도 전개과정이 머리에 쏙 들어 올 것이다.
노튼의 등가회로를 구하는 원칙대로 부하저항을 단락시키고 회로에 흐르는 전류값을 구해 보기로 한다.
부하저항이 단락 ( short ) 되었기 때문에 전압원에서 회로 쪽을 바라 본 전체 저항은 R1과 ( R2//R3 )를 더해 주면 된다. 전압 VS를 전체저항으로 나누면 회로전체에 흐르는 전류 IS를 구할 수 있다.
부하가 걸리지 않은 상태에서 노튼 등가전류를 구하기 위해서 VX를 구하는 식을 세우면 간단히 계산 할 수 있다. 전체저항에 흐르는 전류 IS가 R1을 통과해서 R2 와 R3에서 분기 되므로, R2와 R3 합성저항을 구해 곱해주면 VX의 전압이 나온다. 이는 부하 쪽으로 흐르는 전류방향, ISL 과 저항 R3를 곱한 것과 동일하다.
이 전류가 노튼의 등가회로에서 노튼의 등가전류 IN이 되는 것이다. 그리고 노튼의 등가저항 RN은 회로망의 독립 전압원은 단락시키고, 독립 전류원은 개방시켜, a-b단자에서 바라본 저항을 구하는 것이니 아래와 같이 간단하게 합성 저항을 구해 낼 수 있다.
첫 단추로 노튼의 등가회로를 일단 구했다.
남은 과제는 부하를 달았을 때, 부하에 흐르는 전류가 테브난 등가회로 증명 때 부하의 흐르는 전류와 동일해야 정리가 바야흐로 증명이 되는 것이다. 같은 회로를 가지고 테브난의 등가회로에서 부하에 흐르는 전류는 아래와 같은 식으로 전개 된다.
테브난 등가회로에 대한 자세한 증명은‘ 테브난 정리의 약식증명’을 참조하라.
노튼의 등가회로가 완료 되었다. 등가회로를 먼저 보기로 한다.
부하에 걸리는 전압을 부하저항으로 나눔으로 IL을 구해서 실제 회로의 부하저항에 흐르는 전류와 비교해서 같으면 증명은 마무리 된다고 하였다. 부하에 걸리는 전압을 먼저 사고해 주자. RN과 RL의 병렬합성저항에 노튼의 전류를 곱하거나, 바로 부하저항에 부하에 흐르는 전류 IL은 같으므로 아래 식을 만들 수 있게 된다.
양변에서 RL이 지워지므로,식은 아래와 같이 식 (3)처럼 표현된다.
식 ( 1 )과 ( 2 )를 가져와 재삼 확인해 본다.
식 (3)에 노튼의 등가전류값인 식 (1)의 값을 대입하고, 노튼의 등가저항인 식 ( 2 )를 대입하여 식이 어떻게 전개 되는지 살펴보자.
지워짐의 미학! 최종식이 나왔다.
최종적으로 얻어진 값이 똑 같은 회로를 대상으로 한 테브닌의 등가회로에서 부하에 흐르는 전류값과 동일하면 증명은 완료된 것이라 하였다. 둘을 비교해 본다.
저항 첨자의 순서가 바뀌었을 뿐이지 정확히 동일하다.
이렇게 되면 역시 노튼의 정리도 증명이 된 셈이다. 사정이 이러하다면 테브닌의 등가 회로와 노튼의 등가회로 중 하나만 얻어 낼 수만 있다면 서로 마음먹은 등가회로를 그려 낼 수가 있게 된다. 그 매개는 테브닌의 등가저항과 노튼의 등가저항이 같다는 데에 착안해야 한다.
먼저 테브닌의 등가회로를 구했다고 하자.
그러면 노튼의 등가 전류를 아래와 같이 구할 수가 있게 된다. 등가저항들은 같다.
마찬가지로 노튼의 등가회로를 얻었다면 간단한 식을 조정함으로 테브난의 등가회로를 얻을 수가 있게 된다.
그런데 재미난 것은
테브난 전압원을 노튼의 전류원으로 바꾸는 식과 노튼의 전류원을 테브난의 전압원으로 바꾸는 식을 보면 오옴의 법칙과 똑 같다. 그렇게 되지 않을 수 없겠지만...그래서 혹시 테브난의 등가회로와 노튼의 등가 회로가 생각나지 않는 사람은 오옴의 법칙으로 등가회로를 그려주면 될 것 같다.
임피던스로 생각해 줘 보자. 위의 야매( 野昧 ; 촌스럽고 약간 바보스러운 )적 착상은 그런대로 쓸만하다. 테브닌 등가회로에서는 직렬 임피던스가 되고, 노튼의 등가회로에서는 어디미턴스가 되므로 임피던스의 역수이기 때문에 병렬로 구조를 생각해 주면 오옴의 법칙으로 테브난 과 노튼의 등가회로를 구조적으로 그려낼 수 있지 않겠는가! 너무 야매인가?

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