가우스의 법칙

소개글

가우스의 법칙에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 개요
2. 전기다발
3. Gauss의 법칙
4. Gauss 법칙과 Coulomb의 법칙
5. 대전 되고 고립된 도체
6. 속이 비어 있는 고립된 도체
7. 도체를 제거했을 때의 전기장
8. 외부 자기장
9. 원통 모양의 Gauss면
10. 얇은 절연체 판에서의 Gauss 법칙 적용
11. 두 도체 판에 적용되는 Gauss 법칙
12. Gauss 법칙의 구대칭 적용

본문내용

있다. 만약 가 단위면적당 전하라면 는 와 같다.
식을 에 관한 식으로 나타내자.
식을 통해 도체 외부 전기장의 크기가 면전하밀도와 비례한다는 사실을 알 수 있다. 그리고 도체 위의 전하가 양이라면 전기장은 도체의 외부로 향한다. 만약 전하가 음이라면 전기장은 도체로 향한다.
9. 원통 모양의 Gauss면
[그림 6]에서 보는 바와 같이 무한히 긴 원통형 플라스틱 막대가 균일한 선전하밀도, 로 대전되어 있다고 하자. 막대의 중심축으로부터 막대 바깥쪽에 거리가 인 곳에서 전기장의 크기 를 구하면 아래와 같다.
또한, 는 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.
즉, 이므로 는 아래와 같이 나타낼 수 있다.
원통이 둘러싼 전하, 의 경우 선전하밀도가 균일하므로 이에 둘러싸인 전하는 이다.
여기서 는 선전하 밀도로 단위는 이다. 식에 식을 대입하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
이는 축에서 지름방향으로 거리 인 지점에 무한히 긴, 직선의 선전하가 만드는 전기장이다. 의 방향은 선전하가 양이라면 지름방향을 따라 바깥쪽을 향하고 음이라면 지름방향으로 안쪽을 향한다.
10. 얇은 절연체 판에서의 Gauss 법칙 적용
균일한 양의 면전하밀도 로 대전된 무한히 크고 얇은 절연체판을 가정한다. 이때 판에서 거리 인 곳의 전기장을 구하면 다음과 같다.
Gauss면은 [그림 7]과 같이 판을 수직으로 뚫는 끝 면의 면적이 인 닫힌 원통으로 잡는다. 대칭성에 의해 는 얇은 판에 수직이어야 한다. 이때 전하를 양으로 가정하면 는 판에서 바깥으로 향해야 하며 전기장선 역시 바깥으로 향하면서 Gauss 면을 통과한다. 그리고 절연체 판을 중심으로 양면에 원통 모양의 다발이 있으므로 아래와 같은 식이 성립된다.
식에 식을 대입하자.
그리고 이므로 식은 다음과 같이 표현할 수 있다.
11. 두 도체 판에 적용되는 Gauss 법칙
[그림 8]은 양의 과잉전하를 가진 얇고 매우 넓은 도체판을 나타낸 모식도이며 [그림 9]는 음의 과잉전하를 가진 동일한 판을, [그림 10]은 평행으로 놓인 두 평행판의 모식도를 나타낸 것이다. 그리고 판의 면전하밀도는 로 분포한다. 그리고 전체 면전하밀도는 의 식이 만족한다. 단체 표면 면전하 밀도를 구해보자.
여기서 이므로 식을 정리하자. 여기서 이다.
[그림 8]과 [그림 9]의 도체판을 서로 가깝게 평행하게 놓는다고 가정하자. 도체판들을 서로 가까이하면 한 도체판의 과잉전하가 다른 도체판의 과잉전하가 다른 도체판의 과잉전하를 끌어당기므로 [그림 10]처럼 과잉전하가 두 판의 마주 보는 면으로 움직인다. 따라서 서로 마주 보는 각 면에 두 배의 전하가 모이므로 각 면에서의 새로운 면전하밀도는 이다.
즉, 식은 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.
그리고 이때 [그림 10]에서 전기장은 양의 도체판에서 음의 도체판으로 향하며 바깥쪽 면에는 어떤 과잉전하로 남아 있지 않기 때문에 판들의 왼쪽과 오른쪽 바깥에서 전기장은 0이다. 두 도체판을 서로 가까이 가져갈 때 판 위의 전하들이 움직이기 때문에 두 개의 판으로 된 계의 전하분포는 단순히 각각의 판에 대한 전하분포의 합이 아니다.
12. Gauss 법칙의 구대칭 적용
[그림 11]은 전체 전하가 인 얇고 균일하게 대전된 공 껍질과 두 개의 Gauss면 및 의 단면을 나타낸 모식도이다. 는 껍질을 둘러싸고 은 껍질 안의 빈 공간만을 둘러싼다. 이때 균일한 전하를 띤 공 껍질은 외부에 놓인 전하에 대해, 마치 모든 껍질의 전하가 공의 중심에 모여 있는 것 같이 전하를 당기거나 밀어낸다. 여기서 인 경우에 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
그리고 식을 정리하면 다음과 같다.
식에 식을 대입하면 다음과 같다.
이것은 공 껍질 중심에 놓인 점전하 가 만드는 전기장과 같다. 그러므로 공 껍질 외부에 있는 전하에 작용하는 힘의 크기는 공의 중심에 있는 점전하 가 작용하는 힘과 같다. 면 에 Gauss의 법칙을 적용하면 [그림 11]에서 의 경우에는 전기장이 0이다.
[그림 12]에서, 즉 인 Gauss면 안에 모든 전하가 놓여 있다고 가정하자. 이 경우, 마치 점전하가 공의 중심에 있는 것처럼 전기장이 형성된다.
[그림 13]에서 즉 인 Gauss면 바깥에도 전하가 놓여 있다고 가정하자. 이때 전체 전하를 , Gauss면 안쪽의 전하를 라고 하면 아래와 같은 식을 나타낼 수 있다.
또한, Gauss면 안쪽이나 바깥쪽의 전하의 부피밀도가 같다고 가정하자.
마지막으로 식에 식을 대입하자.

키워드

전기다발,   가우스의 법칙,   절연체,   외부 자기장,   쿨롱의 법칙,   일반물리학,   점전하,   면전하밀도,   전자기학