고교 수학 총정리

목차

이글은 고교 수학을 총정리한 글이다.

본문내용

여라.
(풀이) 공에 적힌 숫자를
X
라 하면 확률변수
X
의 분포는 다음과 같다.
X
4 5 6 7
계
P(X)
4over10
3over10
2over10
1over10
1
평균
m= sum x_i p_i = 5
, 분산
sigma^2 = sum x_i^2 p_i - m^2
=1
이므로 표본평균은 정규분포
N left( m, sigma^2 over n right) = N left( 5, 1over25 right)
을 따른다.
이를 표준화시키면
Z= {barX - 5} over {1over5}
이므로
P( barX 5.2)
= P(Z 1)
= 0.5 - P(0 Z 1)
= 0.5-0.3413
=0.1587
165 표본조사를 가지고 모집단의 평균
m
이나 분산
sigma^2
을 추측하는 것을 추정이라고 한다. 어떤 학교 전체 학생의 몸무게를 알기 위하여
n=100
명의 학생을 임의로 뽑아 조사한 결과 그 표본학생들의 평균은
barX = 62.3
, 표준편차는
s= 10
이었다. 이 결과를 가지고 누군가가 "전체 학생들의 몸무게 평균은 60에서 65 사이일 것이다. 아마 95% 정도 내 추측이 맞을 것이다."라고 말했을 때, 우리는 [60, 65]를 신뢰구간이라 하고 95%를 신뢰도라고 한다. 만일 신뢰구간을 [30, 100]으로 잡았다면 신뢰도는 거의 100%에 가까울 것이다. 이처럼 신뢰구간의 길이가 길어질수록 신뢰도는 높아진다. 하지만 무조건 신뢰도만 높이기 위하여 신뢰구간을 [0, 400]과 같이 잡는 것은 추정에 있어서 아무런 의미가 없다. 따라서 적정한 신뢰도를 생각할 필요가 있는데 보통 많이 쓰는 값은 95%와 99%이다.
166 이제 95%의 신뢰도로 앞의 문제를 풀어보자. 우리가 알고 싶어하는 전체 학생들의 몸무게의 평균을
m
, 분산을
sigma^2
이라 하면 중심극한정리에 의해 표본평균
barX
는 정규분포
N left( m, sigma^2 over n right)
을 따른다. 표준정규분포표를 이용하면
P(0 Z 1.96) = 0.4750
이므로
P(-1.96 Z 1.96)
cdots
(*)
= 2 times 0.4750 = 0. 95
로 그림과 같이 넓이가 약 95%가 된다.
표준화 공식에서
Z = {barX - m} over {sigma over sqrt n}
이므로 ①에 대입하면
(*)
=
P(-1.96 {barX - m} over { sigma over sqrt n} 1.96)
= P( -1.96 sigma over sqrtn barX - m 1.96 sigma over sqrtn )
= P( barX - 1.96 sigma over sqrtn m barX + 1.96 sigma over sqrtn )
= P( 62.3 - 1.96 10 over sqrt100 m
62.3 + 1.96 10 over sqrt100 )
cdots
(**)
= P(60.34 m 64.26)
이 된다. 따라서 신뢰구간이 [60.34, 64.26]이어야 신뢰도가 95%가 되는 것이다. 즉, "전체 학생들의 몸무게 평균은 60.34에서 64.26 사이일 것이다. 아마 95% 정도 내 추측이 맞을 것이다."라고 해야 정확한 표현이 되는 것이다.
167 일반적으로 표본의 크기
n
이 충분히 클 때 표준편차
sigma
인 모집단의 평균
m
의 신뢰구간은 다음과 같다.
참고로, (**)에서 모집단의 표준편차
sigma
의 값으로 표본의 표준편차인 10을 대입한 이유는, 표본의 개수가 충분히 클 때는 모집단의 표준편차 대신에 표본의 표준편차를 쓸 수 있음이 알려져 있기 때문이다.
[보기] 어느 공장의 제품 중에서 100개를 임의로 추출하여 그 길이를 조사하였더니 평균 12.54, 표준편차 0.5이었다. 이 제품의 평균 길이를 신뢰도 95%로 추정하여라.
(풀이)
left[ 12.54 - 1.96 0.5 over sqrt100 , ~ 12.54 + 1.96 0.5 over sqrt100 right]
= [12.44, ~ 12.64]
**************** 연 습 문 제 ****************
168 【96 대성】아래 표준정규분포표를 이용하여
""_100 C_100 left( 9over10 right)^100
+ ""_100 C_99 left( 9over10 right)^99 left( 1over10 right)
z
P(0 Z z)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.1915
0.3413
0.4332
0.4772
0.4938
cdots
+ ""_100 C_96 left( 9over10 right)^96 left( 1over10 right)^4
의 근사값을 구하여라.
(정답) 0.0228
169 확률변수
X
가 이항분포
B left( 180, 1over3 right)
를 따른다고 하자. 이 때, 확률변수
X^2
의 평균
E( X^2 )
의 값을 구하여라.
(정답)
3640
170 【96 중앙】정규분포
N(m, sigma^2 )
을 따르는 모집단에서 임의로 추출한 표본의 평균
barX
로부터 모평균
m
을 추정할 때, 신뢰구간의 길이는 표본의 크기
n
과 신뢰도
alpha
(%)에 따라 변한다. 다음 중 신뢰구간의 길이가 가장 긴 것은?
①
n=100
,
alpha =95
②
n=100
,
alpha =99
③
n=250
,
alpha =95
④
n=400
,
alpha =99
⑤
n=400
,
alpha =95
(정답) ②
171 【95 학평】확률변수
X
가 정규분포
N(m, sigma^2 )
을 따를 때,
P(c X c+2)
가 최대가 되는
c
의 값은?
(정답)
m-1
Hint 정규분포곡선은 평균을 중심으로 좌우대칭형이다.
172 【94 중앙】확률변수
X
는 정규분포
N(2, 3^2 )
을 따르고, 확률변수
Y
는 정규분포
N(0,1)
을 따른다고 한다. 이 때,
P(X k) = P(Y k)
를 만족하는
k
의 값은?
(정답)
-1

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수학,   고등학교 수학,   행렬,   미분,   적분,   수학시험,   역행렬,   수학 총정리