FIR필터 설계와 창 함수

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FIR필터 설계와 창 함수에 대한 보고서 자료입니다.

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, 주파수 영역에서 분석하기 쉬운 함수이다. 그러나 두 가지 주요한 문제가 있다. 첫째로, 의 최소 저지대역 감쇠는 실제 응용에서 충분하지 않다. 둘째로, 직사각형 창함수는 무한길이를 가진 를 직접 자르는 것이므로 깁스 현상(Gibbs phenomenon)이 발생한다. M을 증가시키면 각 부엽의 폭은 줄어든다. 그러나, 각 부엽 아래의 면적은 변하지 않고, 최소 저지대역 감쇠도 여전히 이다. 이것은 모든 리플(ripple)들이 대역끝 근처로 모임을 의미한다. 이 현상을 그림 7.10에 나타내었다.
직사각형 창함수는 여러 응용 분야에서 실용적이지 못하므로, 다른 창함수를 생각해야 한다. 이런 창함수들의 대부분은 이를 처음 제안했던 사람의 이름을 딴 명칭을 갖는다. 다른 창함수들도 직사각형 창함수와 비슷하게 분석할 수 있지만, 여기서는 그 결과만을 제시하겠다.
2.바틀렛 창함수(Bartlett window)
직사각형 창함수는 0 에서 1, 또는 1 에서 0으로 갑자기 전이하므로 깁스 현상이 발생한다. 이 때문에 바틀렛(Bartlett)은 아래의 식과 같이 삼각형 모양으로 천천히 전이하는 창함수를 제안했다.
이 창함수와 주파수 응답 그래프를 아래그림에 나타내었다.
3.해닝 창함수(Hanning window)
이것은 코사인 그래프를 올린 형태의 창함수이다. 그 식은 다음과 같다.
이 창함수와 주파수 응답 그래프를 그림 아래그림에 나타내었다.
4.해밍 창함수(Hamming window)
이 함수는 약간의 불연속성을 갖는 것을 제외하면 해닝 창함수와 거의 유사하다. 그 식은 다음과 같다.
이 창함수와 주파수 응답 그래프를 아래그림에 나타내었다.
5.블랙맨 창함수(Blackman window)
이 함수는 2차 조파(second harmonic) 항을 갖는 것을 제외하면 앞의 두 창함수와 거의 유사하다. 그 식은 다음과 같다.
이 창함수와 주파수 응답 그래프를 그림 7.14에 나타내었다.
표 7.1에 이 창함수들의 특성(M의 함수로 나타낸 전이대역폭과 dB 로 표시한 최소 저지대역 감쇠)을 요약하였다. 정확한 전이대역폭뿐만 아니라 그 근사값도 표시하였다. 표의 아래쪽으로 갈수록 전이대역폭과 최소 저지대역 감쇠가 증가하는 것을 주목하여라. 이 중에서는 해밍 창함수가 가장 좋은 것임을 알 수 있다.
6.카이저 창함수(Kaiser window)
카이저 창함수는 아주 유용한 최적의 창함수 중 하나이다. 이것은 주어진 저지대역 감쇠하에서 가장 큰 주엽폭을 나타낸다는 점에서 최적의 창함수이다. 이는 전이대역폭이 매우 가파르다는 것을 의미한다. 이 창함수는 J. F. Kaiser가 만들었고, 다음의 식으로 주어진다.
여기서 는 변형된 0차 베셀(Bessel) 함수이다. β는 M에 의해 결정되는 파라미터로, 다양한 전이폭과 최적에 가까운 저지대역 감쇠를 만들도록 값을 선택할 수 있다. 이 창함수는 같은 M에 대해서 다른 전이대역폭을 나타낼 수 있는데, 이는 다른 창함수들이 갖지 못한 특성이다. 예를 들면,
만약 β = 5.658이면, 전이대역폭은 이고, 최소 저지대역 감쇠는 60dB이다.
이것은 아래그림에 나타내었다.
만약 β = 4.538이면, 전이대역폭은 이고, 최소 저지대역 감쇠는 50dB이다.
창함수 설계법의 중요한 원리는 유한길이 창함수를 이용하여 이상 임펄스 응답을 절단하는 것이다. 주파수 영역에서 그 효과는 이상 주파수 응답이 창함수의 푸리에 변환과 콘벌루션된다는 것이다. 이상필터가 저역통과 필터라면, 창함수의 푸리에 변환의 주엽이 콘벌루션 과정에서 불연속 부분을 가로질러 움직일 때, 이상필터의 주파수응답의 불연속부분은 손상된다. 간략화된 근사화의 결과로 얻어지는 전이 대역의 폭은 창함수의 푸리에 변환의 주엽의 폭에 의해 결정되고, 통과 대역과 저지대역의 리플은 창함수의 부엽에 의해 결정된다. 통과대역과 정지대역의 리플은 창함수의 부엽의 적분에 의하여 생성하기 때문에, 저지대역과 통과대역의 리플은 거의 동일하다. 좋은 근사화의 결과에 따르면 통과대역과 저지대역의 최대편차는 M에 의존하지 않고, 창함수의 형상을 변화시키므로써만 변경될 수 있다. 그러므로 카이저 창함수의 동작은 해밍 창함수의 동작과 비슷하다. 게다가 이 창함수는 유연한 전이대역폭을 갖는다. 그러나, 베셀 함수와 관련된 복잡성으로 인하여 이 창함수에 대한 설계 방정식의 유도는 쉽지 않다. 다행히도 카이저는 경험적인 설계 방정식을 만들었다. 이 식을 증명 없이 아래에 제시하였다.
설계 방정식
가 주어지면,

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