응용 역학 기본 핵심 이론 정리 10장 부정정 구조물 (기본 문제 풀이 포함)

본문내용

내부 휨모멘트를 계산한다.
(5) 지간을 하나씩 구분하여 계산된 휨모멘트를 작용시켜 반력을 구한다.
<<기본문제 1>> 다음 연속보의 반력을 계산하시오.
풀이:
이므로 미지의 지점 휨모멘트는 뿐이며 =일정이므로 를 구하기 위한 3연모멘트 방정식은 다음과 같다.
위의 식을 풀면,
이로부터, 지점반력을 계산하면 다음과 같다.
<<기본문제 2>> 다음 연속보의 지점 휨모멘트를 계산하시오.
풀이:
지점 A의 왼쪽에 지점 A'를 가상한 3경간 연속보에 3연모멘트 방정식을 적용한다. A'-A-B 사이는 다음과 같이 계산된다.
(1)
A-B-C사이는 제1경간과 제2경간의 단면 2차 모멘트의 값이 다르므로, 다음과 같이 정리된다.
()
(2)
따라서, 위에서 유도한 (1)과 (2)식을 연립하여 풀면,
,
6. 처짐각법
1915년 G.A.Maney 교수가 미네소타 대학의 간행물에서 처음 소개한 것으로, 미지수의 하나인 고정지점(재단) 모멘트 M을 유도된 공식으로 직접 구하는 방법이다.
즉, 직선 부재에 작용하는 하중과, 하중으로 인한 변형에 의해서 절점에 생기는 절점각과 부재각을 함수로 표시한 기본식을 만들어, 이 기본식을 적용한 절점 방정식과 층방정식에 의해서 미지수인 절점각과 부재각을 구한다.
이 값을 기본식에 대입하여 재단 모멘트를 구할 수 있는 방법이다.
6.1 해법상의 가정
(1) 부재는 직선재이다.
(2) 절점에 모인 각 부재의 연결상태는 모두 완전한 강결로 취급한다.
(3) 휨모멘트에 의해서 생기는 부재의 변형은 고려한다.
(4) 축방향력과 전단력에 의해서 생기는 부재의 변형은 무시한다.
(5) 재단모멘트의 부호는 작용점에 관계없이 시계방향이 (+), 반시계방향이 (-)이다.
6.2 해법 순서
(1) 하중항과 강비를 계산한다.
(2) 처짐각 기본식(재단 모멘트 방정식)을 세운다.(3) 절점 방정식과 층방정식(라멘)을 세운다.
(4) 방정식을 풀어 미지수(절점각, 부재각)를 구한다.
(5) 이 미지수를 기본식에 대입하여 재단 모멘트를 구한다.
(6) 재단 모멘트를 사용하여 지점 반력을 구한다.
6.3 처짐각법 기본법 (재단 모멘트 방정식)
(1) 양단고정이나 탄성고정인 경우
(2) 한쪽 지점이 힌지인 경우
여기서, ,
,
: 부재각(침하나 변위에 의한 각) 또는
: 강도 (부재의 길이가 길면 강도는 떨어진다.)
(단면이 크면 가 커지고 강도도 증가한다.)
: 강비
[하중항 공식]
,
,
,
<<기본문제 1>> 다음 보의 지점 휨모멘트를 구하시오.
풀이:
(1) 강비와 고정단 모멘트의 산정
각 부재의 강도계수를 구하면,
,
표준강도 계수를 로 하면, 각 부재의 강비는
고정단 모멘트를 구하면,
(2) 처짐각 방정식
(3) 절점방정식
(4) 재단모멘트
를 (2)의 처짐각 방정식에 대입하면,
따라서, 각 지점의 휨모멘트는
, ,
<<기본문제 2>> 다음 보의 지점 휨모멘트를 구하시오.
풀이:
(1) 강비와 고정단 모멘트는 다음과 같다.
, 이므로, 으로 하면,
,
(2) 처짐각 방정식
(3) 절점방정식
(1)
(2)
식(1), (2)를 연립하여 풀면,
(4) 재단모멘트
따라서, 각 지점의 휨모멘트는
7. 모멘트 분배법
1932년 Hardy Cross 교수가 제안한 방법으로 처짐각법의 연립 방정식을 축차적인 근사법으로 풀어가는 것이다.
전자계산기가 보편화되기 전까지는 복잡한 라멘 등을 푸는데 효과적인 방법이었다.
7.1 해법 원리
아래 그림과 같은 부정정보를 해석할 때 AB, BC 부재를 분리하여 양단 고정보라고 계산하므로 B점 같은 경우는 재단(고정단) 모멘트가 2개로 계산된다.
이와 같이 한점에 2개 (또는 2개 이상)의 재단 모멘트가 발생한 경우에 같은 값이 나오도록 계산하는 것이 부정정 해법이며 다음 2가지가 대표적인 것이다.
(1) 처짐각법 : 앞절에서 설명했듯이 (절점 방정식)을 이용하여 를 구한다. 또한 필요에 따라 층방정식도 이용할 수 있으며 라멘 구조의 해석에 유리하다.
(2) 모멘트 분배법 : 와 의 차이를 불균형 모멘트라고 하며, 이 불균형 모멘트를 양 지간에 부재 강도에 따라 배분하여 균형시키는 방법이다.
7.2 해법 순서
(1) 강도() 계산
(2) 표준강도() 설정
(3) 강비() 계산
(4) 분배율(DF) 계산 => DF 기호 대신에 를 쓰기도 함.
(5) 하중항(FEM) 계산
(6) 절점에서 불균형 모멘트 계산
(7) 분배 모멘트 계산
(8) 전달 모멘트 계산
(9) 절점에서 모멘트가 불균형이면 (6)~(8) 반복
(10) 재단 모멘트(F.M.) 계산
7.3 강도
7.4 표준강도
여러강도 중에서 기준을 삼기 위해 임의로 지정한 강도를 말한다.
7.5 강비
임의 강도를 표준 강도로 나눈 값이다.
7.6 유효강비
부재의 양단이 고정된 경우를 기준으로 하여 상대 부재의 강비를 결정하여 분배율 계산에 이용한다.
7.7 고정단 모멘트
처짐각법의 하중항 공식을 동일하게 적용한다.
7.8 불균형 모멘트
한 점의 좌우 모멘트 값은 같아야 하는데, 지간을 나누어 하중항을 계산하면 틀린 값이 나오는 경우가 대부분이다.
7.9 분배율과 분배 모멘트
(1) 분배율
둘 이상의 부재가 연결된 곳에 작용하는 모멘트는 각 부재에 분배되는 데 다음 식에 의한다.
또는
(2) 분배 모멘트
작용(=해제)모멘트에 분배율을 곱하면 각 부재에 분배되는 분배 모멘트가 된다.
7.10 전단률과 전달모멘트
(1) 전달률
한쪽에 작용한 모멘트는 다른 쪽에 전달되는데 그 비율은 1/2이 된다.
즉 재단 모멘트 공식에 의하여,
즉 A점에 작용한 재단모멘트 는 B점에 그 값의 반이 전달된다. 따라서 전달률은 항상 1/2이다.
그러나 전달모멘트는 고정단이 아니면 전달받지 못한다.
(2) 전달모멘트
전달률에 의해 한 쪽에 작용된 모멘트의 1/2이 다른 고정단으로 전달된다. 이와 같이 전달되는 모멘트를 전달 모멘트라고 말한다.
7.11 재단모멘트
불균형 모멘트를 분배율에 의해 분배하고, 전달률에 의해 전달하여 반복 작업을 하면 균형 모멘트로 접근하게 된다. 계산이 끝나면 그 점의 재단 모멘트는 다음과 같이 된다.
(재단 모멘트) = (하중항) + (분배모멘트) + (전달모멘트)

키워드

응용,   역학,   부정정,   3연 모멘트,   처짐각법,   변형 일치,   모멘트 분배