일반통계학 8장 추정 정리

소개글

일반통계학 8장 추정 정리에 대한 보고서 자료입니다.

목차

8.1 점추정과 불편성
8.2 구간추정의 개요
8.3
8.4 표본크기의 결정

본문내용

다, 이러한 실험에서는 비교되는 두 표본집단은 가능한 한 비슷하게 설정하고, 알고 싶은 효과를 얻을 수 있는 특정 처리를 가하게 된다.
여러 가지 조건을 동일하게 주고 관심이 있는 하나에 대해서만 차이를 두고 실험을 하는 것을 통계학에서는 블록화 한다. 라고 하고 실험에 대한 계획가 그 게획에 맞는 분석을 수행하여 가는 과정에 대한 이론을 실험게획법 이라고 부른다.
또한 동일한 성질을 갖는 쌍으로 구성된 표본을 쌍체표본 또는 짝지워진 표본 이라고 부르고, 이러한 표본에서 추출된 표본을 각각 I과 II라고 한다면, 이 역시 다음과 같이 표현할 수 있다.
표본 I :
표본 II :
표본이 추출된 모집단이 각각 정규분포 을 따른다고 가정하고 모평균의 차이에 대하여 고려해 보자. 앞서 논의된 두 모평균의 차이에 대한 추정량 를 이용하면 평균의 경우는
가 되어 독립인 집단과 같아지지만, 분산의 경우는
가 되어 공분산 항이 발생한다. 따라서 앞 절에서 논의한 방법으로는 분포를 도출하거나 신뢰구간을 구할 수가 없다.
이에 대한 해결책으로 확률변수 을 정의해 보자. 그러면 가 되고 이는 의 불편 추정량이 된다. 그리고 표본 I과 II는 독립이 아니지만, 쌍체표본
은 상호 독립이다.l 여기서 두 모집단에서 짝지워진 값으로 새로운 모집단을 정의하고 이 모집단의 평균과 분산을 각각 에서 추출된 확률표본이라고 생각할 수 있다.
쌍체표본의 차이 의 표본평균 에 대한 분포
이제 쌍체표본의 차이 를 하나의 정규모집단에서 추출된 확률표본이라고 생각하면 아주 간단해진다. 즉, 우리는 표본평균 의 분포를 알고 있으므로, 모분산 가 알려진 경우와 그렇지 않은 경우로 구분하고, 이에 대해 단일 모평균에 대한 신뢰구간을 구하는 방법을 적용하면 쉽게 신뢰구간을 구할 수 있다.
쌍체표본에서 의 신뢰구간
8.3.4 모비율의 신뢰구간
모비율 p인 이항모집단으로부터 임의추출한 n개의 확률표본에서 관심의 대상이 X개포함되어 있고 np>5이고 nq>5 일 때, 표본비율 의 표본분표는 다음과 같다는 것을 알고 있다.
따라서 이를 모평균에 대한 신뢰구간의 도출과정에서의 방법과 동일하게 전개하면 모비율 p의 신뢰구간은 다음과 같이 주어진다.
모비율 p에 대한 신뢰구간
8.3.5 두 모비율 차이의 신뢰구간
모비율이 p1,p2 이고 상호독립인 두 이항모집단으로부터 각각 m, n개의 확률표본을 추출하여 얻는 표본비율의 차이 의 분포는 다음과 같다는 것을 알고 있다,
모비율의 차이 p1-p2에 대한 신뢰구간 역시 앞에서 논의한 모평균의 차이에 대한 신뢰구간과 마찬가지 방법으로 구해진다. 만일 p1,p2의 사전정보가 있는 경우에는 모분산을 아는 경우와 마찬가지 방법으로 구하면 되고, p1,p2으 사전정보가 없는 경우에는 각각의 모분산 p1,q1, p2,q2는 각각 다음의 표본비율 를 이용하여 표본분산
로 추정된다.
모비율 차이 에 대한 신뢰구간
(모평균, 모비율 또는 이들의 함수에 대한) 신뢰구간을 구하는 법
① 모수를 추정할 수 있는 불편추정량을 찾는다.
② 불편추정량의 표본분포를 구한다.
③ 정의된 표본분포에서 주어진 신뢰도 를 만족하고 가장 짧은 구간을 제공 하는 확률값인 을 찾는다. 여기서 는 t-분포의 자유도
④ 모수에 대해 절리한다.
위의 ①~④의 과정을 거치면, 모수의 신뢰구간은 다음과 같이 정이된다.
추정량
8.3.6 모분산의 신뢰구간
정규모집단 에서 추출한 크기 n인 확률분포 의 표본분산을
이라 하면 다음이 성립함은 7장에서 다루었다.
따라서 주어진 신뢰도 의 신뢰구간은 다음과 같이 구할 수 있다.
모분산 에 대한 신뢰구간
8.3.6 모분산 비의 신뢰구간
두 모분산의 비 에 대한 신뢰구간을 추정하기 위해서는 표본분포에서 배운 다음과 같은 통계량을 사용한다.(단, m은 X이 표본 수, n은 Y의 표본 수)
따라서 주어진 신뢰도 하에서 모분산의 비에 대한 구간추정은 다음과 같이 구해진다.
모분산 비 에 대한 신뢰구간
여기서, m은 X의 표본크기, n은 Y의 표본크기
8.4 표본크기의 결정
지금까지는 표본크기 n이 주어졌다는 가정 하에서 여러 가지 모수 그리고 모수의 함수에 대한 점추정과 구간추정에 대해 알아보았다, 그러나 주어진 신뢰수준 하에서 원하는 신뢰구간을 만족시킬 수 있는 표본크기 n을 결정하는 것 역시 매우 중요하다고 할 수 있다. 왜냐하면 원하는 신뢰도를 만족시키는 표본크기 이상으로 많은 수를 추출하는 것은 시간, 경비 등의 낭비를 초래하게 되고, 반면 너무 적은 크기의 표본을 추출할 경우에는 추정하고자 하는 모수에 대한 충분한 정보를 획득할 수 없기 때문이다.
8.4.1 모평균 추정에 필요한 표본크기
모평균 신뢰구간은 다음과 같은 구간으로 주어진다는 것은 이미 앞 절에서 논의 하였다.
이를 표본평균 와 모평균 의 차이인 추정오차 에 대하여 정리하면 다음과 같다.
위 식을 앞서 정의한 추정오차와 신뢰구간의 이미로 다시 해석하면, 주어진 신뢰도
하에서 추정오차는 보다 작거나 같다는 뜻으로, 다음 식에서 추정오차가 최대가 된다는 것을 말한다.
따라서 우저니 신뢰도 와 추정오차 하에서 이를 만족하는 표본크기 n을 찾으려면 위의 식을 n에 대해 정리하면 된다. 다시 말하면이므로 이 된다.
주어진 d와 하에서 모평균 의 추정에 필요한 표본크기
n은 표본의 크기이므로 양의 정수여야 한다. 그러나 위의 식 우변은 정수가 아닐 수 있다. 이 때는 가능한 한 큰 쪽으로 가까운 정수를 취해 주는 것이 바람직하다.
8.4.2 모비율 추정에 필요한 표본크기
모비율 가 알려진 경우, 즉 모비율 에 대한 사전정보가 있는 경우, 모비율의 신뢰구간은 다음과 같은 구간으로 주어지다는 것은 앞 절에서 다루었다.
이를 모평균의 경우와 같이 추정오차 에 대해 정리하면 다음과 같다.
따라서 최대추정오차는
모비율 p에 대한 사정정보가 없는 경우에는 그만큼 모집단에 대한 정보가 없으므로 가능한 많은 표본을 얻어야 할 것이다. 위 식에서 는 정해진 값이므로 의 값이 최대가 되는 p값에서 n을 구하면, 이는 추정오차가 최대가 되는 점에서 표본크기 n을 결정하는 것이된다.
주어진 d와 하에서 모비율 p의 추정에 필요한 표본크기

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