[수학][건축][수학과 기호][수학과 기수법][수학과 음수][수학과 인수분해][수학과 뫼비우스의 띠]수학의 개념, 수학과 건축, 수학과 기호, 수학과 기수법, 수학과 음수, 수학과 인수분해, 수학과 뫼비우스의 띠

소개글

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목차

Ⅰ. 수학의 개념

Ⅱ. 수학과 건축
1. 피라미드와 황금비
2. 고대 그리스의 건축
3. Vitruvius와 고대건축
4. 레오나르도 다빈치의 수학과 건축
5. 19세기와 20세기의 변화
6. 석굴암과 불국사의 비례

Ⅲ. 수학과 기호
1. 의의
1) 명확성
2) 일반성과 엄밀성
3) 통합성
4) 추상성
2. 유형
1) +, -
2) x
3) ÷
4) =
5) √

Ⅳ. 수학과 기수법
1. 덧셈의 원리에 의한 기수법
2. 곱셈의 원리에 의한 기수법
3. 십진법
4. 2진법

Ⅴ. 수학과 음수
1. 음수의 수난시대
2. 음수가 비로소 인정받다

Ⅵ. 수학과 인수분해
1. 인수분해
1) 공식을 이용하는 인수분해
2) 인수정리를 이용하는 인수분해
2. 약수와 배수
1) 다항식의 약수와 배수
2) 와 의 서로소
3) 최대공약수와 최소공배수의 관계

Ⅶ. 수학과 뫼비우스의 띠
1. 뒤틀린 표면속에 숨겨진 마술
2. 뫼비우스의 띠 만들기
3. 뫼비우스의 띠 등분구조
4. 뫼비우스의 띠와 위상수학
5. 뫼비우스 띠의 적용 사례
1) 실생활에서
2) 자루(한복)
3) 세이케 장치(무중력장치)
4) DNA
5) 수학을 미술로 번역한 사람

참고문헌

본문내용

그 고리는 더 이상 뫼비우스의 띠가 아니다. 왜냐하면 그 고리에는 두 개의 서로 다른 모서리와 서로 다른 안쪽 면과 바깥쪽 면이 있기 때문이다.
한편, 뫼비우스 띠를 전체 폭의 3분의 1되는 지점을 따라 자르면, 두 개의 서로 맞물린 고리가 생겨난다. 그 중 하나는 뫼비우스의 띠이며, 다른 하나는 절반씩 두 번 꼬인 고리이다.
3. 뫼비우스의 띠 등분구조
등분에 대한 성격을 더 살펴보자. 이상의 2등분, 3등분을 통하여 나머지 4등분, 5등분… 등의 경우에는 어떠하리라는 것을 짐작할 수 있다.
거울상인 두 개의 뫼비우스 띠를 수직으로 부치면? 다음 실험을 하여보자. 뫼비우스의 띠의 성질에 의해서 재미있는 현상들이 나타난다.
먼저 뫼비우스의 띠 두 개를 수직으로 부친 후 각각의 띠를 이등분한다. 또 서로 거울상인 두 개의 뫼비우스의 띠를 수직으로 부친 후 각각의 띠를 이등분한다. 어떤 일이 일어날까? 자르기 전에 어떻게 될 것인지 추측해보자.
4. 뫼비우스의 띠와 위상수학
기하학은 공간의 수학적 개념이기 때문에, 체계적인 기하학 연구의 자연스러운 방법은 차원(dimension)에 의한 것이다. 먼저 차원이 0인 점이 있다. 다음으로 일차원의 대상으로 직선과 곡선을 생각할 수 있다. 이차원의 대상으로 곡면을 들 수 있으며, 차원은 계속 확장할 수 있다. 기하학은 지금까지 3차원 공간을 다루었다. 평면상에서는 두 직선은 만나지 않으면 교차한다. 그러나 뫼비우스의 띠의 경우에는 두 선이 꼬인 위치에 있어야 한다. 2차원 평면에서는 뒤집혀 버리기 때문이다. 그런 의미에서 뫼비우스의 띠는 3차원이다. 이러한 주어진 차원으로부터의 대상들의 집합은 수학자들이 말하는 공간(space)을 형성한다. 그리고 만일 어떤 공간 내에서 두 대상이 ‘가까이 있다고’ 말할 수 있다면 그 공간을 위상공간(topological space)이라고 한다. 수학적인 공간은 다양한 형태로 때로는 매우 독특한 형태로 나타난다. 공간 내의 ‘점’들이 복소수일 수도 있고, 무한 번 미분 가능한 함수, 또는 좀더 복잡한 수학적인 도구일 수도 있다. 공간은 추상화의 위력이 발휘되는 곳이다.
기하학은 지금까지 3차원의 공간을 다루었지만, 위상기하학은 공간(space)에 시간을 도입하여 4차원의 세계를 다룬다. 즉, 시간과 공간을 분리시켜 생각하지 않는다. 공간 속에서 시간이 개입되면 지금의 상식으로는 상상할 수 없는 차원의 변화가 생긴다. 아인슈타인의 상대성원리는 이미 시간과 공간의 비분리성을 말하였다. 그래서 그의 공간 역시 비유클리드적인 것이다. 공간 속에 시간이 들어오면 기이한 현상이 생겨 과거, 현재, 미래를 동시에 잡을 수도 있다.
지금 천체 물리학을 연구하는 학자들도 우주의 구조를 하나, 둘 밝혀내고 있는데, 그 모습이 뫼비우스의 띠를 닮았을 것으로 보고 있다. 우주는 상대성원리에 의하여 휘어져 있어서 비유클리드적인 기하학으로만 이해될 수 있다.
5. 뫼비우스 띠의 적용 사례
뫼비우스 띠의 신기한 성질을 활용한 예를 찾아보자.
1) 실생활에서
두 개의 바퀴에 둥그런 띠 모양의 벨트를 그대로 걸면 기계에 닿는 한 쪽 면만 닳게 되고 또 쉽게 빠지기도 한다. 이것을 뫼비우스의 띠처럼 한 번 꼬아서 걸게 되면 벨트의 양 쪽 면이 골고루 닳을 뿐만 아니라 잘 빠지지도 않게 된다. 이런 벨트는 방앗간이나 공장의 기계에서 볼 수 있다. 러시아의 발명가인 구바이둘린은 뫼비우스 띠 모양으로 만든 벨트를 끼운 연마기로 특허를 획득했다. 띠의 규격은 마찬가지지만, 연마 표면의 넓이가 두배가 되기 때문에 수명도 두 배가 길다. 뫼비우스 띠를 이용한 여과기, 뫼비우스 띠를 이용한 녹음 테이프 등 이 띠의 원리를 이용한 장비, 기계에 대한 특허가 백건이나 된다고 한다.
2) 자루(한복)
우리나라에서는 간단한 매듭을 만들 때나 전대, 자루를 만들 때 한번 비틀어 마주 붙였다. 이런 동일한 원리는 한복 곳곳에 남아 있다.
3) 세이케 장치(무중력장치)
세이케 반중력장치의 핵심은 전자석을 만들 때 전선을 ‘뫼비우스띠’모양으로 감는다는 것이다. 뫼비우스띠 모양으로 감은 전자석과 영구자석을 조합해 개발한 세이케장치는 자신의 무게를 감소시켜 공중에 뜰 수 있다.
4) DNA
유전인자가 이중나선으로 되어 있다는 사실은 1960년대 초 발견되었다. 그런데 유전인자의 복제본을 만들기 위해서 두 개의 매듭의 얽힘을 푸는 것은 매우 어려운 일이며 생명의 신비를 푸는 문제이기도 하다.
그런데 1980년대부터 생물학자와 위상수학자가 공동으로 연구하여 1981년(콜로라도대 왈바교수) DNA가 뫼비우스띠를 2등분 했을 경우의 모양과 같다는 사실을 발견하였다.
5) 수학을 미술로 번역한 사람
스위스의 조각가 막스 빌(M. Bill, 1908-)은 1935년에 뫼비우스의 띠를 발견했다. 그는 그의 조각품을 ‘끝없는 리본’이라 명명했다.”
분명 빌은 자신의 발명품이 수학자들에게는 이미 한 세기 전에 알려져 있다는 사실을 알지 못했다. 그 사실을 알게 되었을 때 그의 실망은 매우 컸다. 그는 다음과 같이 말한다. “나는 훗날, 내가 발명했다고 생각한 그 물체가 소위 뫼비우스 띠의 예술적 해석으로써, 뫼비우스 띠와 동일하다는 사실을 알게 되었다.” 그가 뫼비우스 띠에 대한 설명을 접하게 된 것은, 뫼비우스가 ‘말로 표현할 수 없는 다면체’를 설명한지 거의 120년 후인 1979년에 이르러서였다. 빌은 뫼비우스 띠의 미적 잠재성을 현실화하는 작업에 착수한다. 그 결과로 순수하고 깨끗한 선을 지니는 빌의 작품이 수학을 미술로 번역한 것이라 할 수 있다.
참고문헌
김응태·박한식·우정호(1995), 수학교육학 개론, 서울 : 서울대학교
김미영(2003), 제34회 전국교육자료 전시회 수학교육분야 설명서
김상룡(1999), 수학일기(Mathematical Journal)에 관한 연구, 과학·수학교육연구 제22집, 대구교육대학교 과학교육연구소
수학사랑 1·2월호&3·4월호(www.mathlove.co.kr)
신현성(1991), 수학적 우수아를 위한 수학과 교육과정의 개발(1), 대한 수학교육 학회논문
우정호(1998), 학교수학의 교육적 기초, 서울 : 서울대학교 출판부

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수학,   기호,   기수법,   음수,   인수분해