경제수학의_기초-정필권 해답

본문내용

므로 는 강오목함수이다. 따라서 유일한 에서 최대값 를 갖는다
제21장 연습문제 풀이
1.
(1) 1차 조건을 구하면
,
연립방정식을 풀면
이다. 헤시안 행렬을 구하면
,
이므로 는 에서 극대값 을 갖는다. 사실상 함수 의 헤시안 행렬이 모든 에 대하여 음정부호이므로 함수 는 강오목함수이다. 따라서 최대값 0을 갖는다.
(2) 라그랑지함수를 이라 하면
이다. 1차필요조건을 구하면
연립방정식의 해를 구하면
,
이다. 테두른 헤시안 행렬 를 구하면
이므로 , 일 때, 목적함수는 극대값 을 갖는다.
2.
라그랑지함수를 이라 하면
1차필요조건을 구하면
연립방정식을 풀면
, , 또는 ,
테두른 헤시안행렬 를 구하면
, , 이므로 극대가 된다. 그러나 , 에서 이므로 극대값을 갖지 않는다(극소값을 갖는다).
3.
라그랑지함수를 이라 하면
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면
, , 또는 , ,
테두른 헤시안행렬 를 구하면 다음과 같다.
, , 에서 이므로 목적함수는 극소값 를 갖는다.
, , 일 때, 이므로 목적함수는 극대값 를 갖는다.
4.
라그랑지함수를 이라 하면
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면 4개의 해를 얻는다.
, ,
, ,
테두른 헤시안행렬 를 구하면
에서 행렬식을 구하면, 이므로 에서 극대값 를 갖는다. 또한 에서 행렬식을 구하면, 이므로 에서 극소값 를 갖는다.
5.
라그랑지함수 이라 하면,
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면 2개의 해를 얻는다.
, ,
, ,
테두른 헤시안행렬 을 구하면,
에서 행렬식을 구하면, 이므로 에서 극대값 를 갖는다. 또한 에서 행렬식을 구하면, 이므로 에서 극소값 를 갖는다.
6.
라그랑지함수 이라 하면,
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면
, ,
테두른 헤시안행렬 를 구하면,
이므로 에서 극대값 를 갖는다.
7.
(1) 라그랑지함수를 이라 하면
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면
,
테두른 헤시안행렬을 구하면
이므로 에서 극대값 를 갖는다.
(2) 라그랑지함수를 이라 하면
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면
,
테두른 헤시안행렬을 구하면
에서 를 구하면, 이다. 따라서 에서 극소값 를 갖는다.
8.
라그랑지함수를 이라 하면
1차필요조건을 구하면,
에서 를 소거하면 이다. 에 대입하여 풀면.
, ,
, ,
테두른 헤시안행렬 을 구하면,
이다. 에서 행렬식을 구하면, 이므로 에서 극소값 를 갖는다. 또한 에서, 이므로 에서 극대값 를 갖는다.
9.
라그랑지함수를 이라 하면,
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면 2개의 해를 얻는다.
, , ,
, , ,
테두른 헤시안행렬을 구하면,
에서 , 이므로 극소값 을 갖는다. 같은 방법으로 에서, , 이므로 극소값 을 갖는다.
10.
(1) 라그랑지함수를 이라 하면,
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면 2개의 해를 얻는다.
,
,
테두른 헤시안행렬 을 구하면,
에서 이므로 극대값이 아니다. 에서 이므로 극대값 를 갖는다.
(2) 라그랑지함수를 이라 하면,
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면,
,
테두른 헤시안행렬 을 구하면,
이므로 에서 극소값 를 갖는다.
11.
라그랑지함수를 이라 하면,
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면 2개의 해를 얻는다.
, , ,
, , ,
테두른 헤시안행렬을 구하면,
에서 , 이로 극소가 되기 위한 충분조건을 만족시키지 못한다. 에서, , 이므로 에서 극소값 을 갖는다.
12.
라그랑지함수를 이라 하면,
1차필요조건을 구하면,
연립방정식의 해를 구하면
, , ,
이므로 극대가 되기 위한 2차충분조건이 만족된다. 간접목적함수를 라 하면,
를 와 에 관하여 편미분하면
,
이다.
라그랑지함수 을 과 에 대하여 편미분하면,
과 을 와 에서 계산하면
가 되어 포락선정리가 성립한다.
제22장 연습문제 풀이
1.
(1) 이윤을 라 하면
1차필요조건을 구하기 위해 과 에 관하여 편미분하면
위의 수식으로부터 얻은 을 대입하여 풀면
이다
(2) 와 를 생산함수에 대입하면 다음의 공급함수를 얻는다.
(3) 이윤함수를 얻기 위하여 에 , , 를 대입하여 정리하면 이윤함수는 다음과 같다.
(4)
즉, 으로 포락선 정리가 성립한다.
즉, 으로 포락선 정리가 성립한다.
2.
(1) 라그랑지 함수를 이라 하면
1차 필요조건을 구하면
2차 충분조건 이 만족되는 것을 쉽게 확인할 수 있다.
처음 두식으로부터
이 식을 에 대입한 후 을 , 및 에 관하여 풀면 에 대한 수요함수를 얻는다.
이식을 에 대입하면 의 수요함수는 다음과 같다.
(2) 와 를 목적함수에 대입하면 다음의 간접효용함수를 얻는다.
3.
라그랑지 함수를 이라 하면
1차 필요조건을 구하면
처음 두식으로부터
또는
이 식을 에 대입하면,
또는
위 식을 풀면 생산요소의 수요함수와 비용함수를 구하면 다음과 같다.
,
4.
극 대 화 :
제약조건 :
1차 필요조건
처음두식으로부터
즉
이 식을 에 대입한 후 풀면
또한 2차충분조건으로 이 성립하는 것을 쉽게 확인할 수 있다.
5.
(1) 소비자가 직면한 문제는 다음과 같다
극 대 화 :
제약조건 :
라그랑지 함수를 이라 하면
1차 필요조건을 구하면
위의 연립방정식을 풀면
,
2차충분조건이 성립하는가를 보기위하여 을 구하면
으로 에서 극대가 된다.
(2) 소비자가 새로이 직면한 문제는 다음과 같다
극 대 화 :
제약조건 :
라그랑지 함수를 이라 하면
1차 필요조건을 구하면
위의 연립방정식을 풀면
,
(3) 대체효과를 구하기 위하여 가격변화전의 효용수준의 무차별곡선과 새로운 가격선과의 접하는 점을 구하여야 한다. 가격변화전의 무차별곡선은 를 만족시킨다. 에 관하여 풀면
이다. 무차별곡선의 기울기를 구하면
가격변화후 새로운 가격선의 기울기를 로부터 구하면
이다. 두 기울기 동일하여야 하므로 다음 식을 얻는다.
원래의 무차별곡선과 새로운 가격선이 이동하여 접하는 점에서의 의 수요량을 라 하면
이다
대체효과는
소득효과는
가격효과는
가격효과=대체효과+소득효과의 관계가 성립한다.

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