미적분학 2-10

소개글

미적분학 2-10에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

풀이>
문제 2-10-11~13> a) 미분 를 구하고,
b) x와 dx의 주어진 값에 대해 dy를 계산하여라.
문제 11>
풀이> a)
b)
문제 12>
풀이>a)
b)
문제 13>
풀이>a)
b)
문제 2-10-14~15> 주어진 x와 에 대하여 를 구하여라. 그리고 길이 를 갖는 할선을 보여주는 앞의 그림 6과 같은 그림을 그려라.
문제 14>
풀이>
문제 15>
풀이>
문제 2-10-16~18> 미분 (또는 동등하게, 일차근사식)을 이용하여 주어진 수의 근사값을 구하여라.
문제 16>
풀이>
x=2이고 dx=0.001 인 경우
따라서
문제 17>
풀이>
x=8이고 dx=0.06 인 경우
따라서
문제 18>
풀이>
x=45 이고 dx = -1 인 경우
따라서
문제 2-10-19> 다음 근사식이 왜 합당한지를 일차 근사식 또는 미분으로 설명하여라.
풀이> 그러므로
0에서 f의 근사식은
0.08이 0에 가까우므로
문제 2-10-20> 정육면체의 각 변의 길이는 0.1cm의 한계오차가 적용되며, 30cm로 측정되었다. 미분을 이용하여 다음을 계산할 때 최대 오차 한계를 구하여라.
a) 육면체의 부피b) 육면체의 표면적
풀이>a) 변의 길이를x라고 하면, 체적 이다.
이므로 가능한 최대오차는 이다.
상대오차는
백분율 오차는 1% 이다.
b)
x=30일 때 dx = 0.1, dS = 12(30)(0.1)=36
따라서 최대 오차는 이다.
상대오차는
백분율 오차는 이다.
문제 2-10-21> 구의 원주는 84cm 이고, 한계오차는 0.5cm 이다.
a) 미분을 이용하여 표면적을 계산할 때, 최대허용오차는 얼마인가? 또한 상대오차는 얼마인가?
b) 미분을 이용하여 부피를 계산할 때, 최대허용요차는 얼마인가? 또한 상대오차는 얼마인가?
풀이> a) 지름이 r인 구의 둘레C = 2πr 이고 표면적 이다.
C=84,
그러므로 최대오차는
상대오차는
b)
일 때
따라서 최대오차는
상대오차는
문제 2-10-22> a) 미분을 이용하여 높이 h, 내부반지름 r, 두께 인 원통의 얇은 관에 대한 부피를 구하는 근사식을 구하여라.
b) 이 식에 의하여 얻어지는 오차는 얼마인가?
풀이>a)
b)　오차는
문제 2-10-23> 미분을 이용하여 다음 공식을 증명하여라. 이때 c는 상수이고 u 와 v는 x의 함수이다.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
풀이>a)
b)
c)
d)
e)
f)
문제 2-10-24> 함수 f에 관하여 우리가 알고 있는 유일한 정보는 f(1) = 5 이고, 그것의 도함수의 그래프가 아래와 같다.
a) 일차근사식을 이용해 f(0.9)와 f(1.1)을 추정하여라.
b) a)에서 구한 추정값이 너무 크거나 너무 작지는 않는가? 설명하여라.
풀이>a)
b) 그래프로부터 가 양수이고 감소한다는 것을 알 수 있다.
이는 접선의 기울기가 양이지만, 접선은 덜 가파라 진다는 것을 의미한다.
따라서 접선은 곡선의 위쪽에 존재하므로 추정 값은 너무 크다.

키워드

미적분학,   미분,   적분