미적분학 13-8

본문내용

13. 8 라그랑주 승수
2.
<풀이>
∴
이면 이므로
이면 이므로
∴의 극값으로 가능한 점들은
∴의 극대값은 이고 극소값은
3.
<풀이>
∴
이면 이므로 이지만 이면 이므로 모순
∴이므로
이면 , ,
∴의 극값으로 가능한 점들은
∴의 극대값은 이고 극소값은
4.
<풀이>
∴
∴의 극값으로 가능한 점들은
∴의 극대값은 이고 극소값은
5.
<풀이>
∴
∴의 극값으로 가능한 점들은
∴의 극대값은 이고 극소값은
6.
<풀이>
case 1 : 이면,
∴
∴값은
case 2 : 변수중 하나가 0이고 둘이 0이 아니라면 값은
case 3 : 두 변수가 0이면 세 번째 변수는 을 가지므로 값은 1
∴의 극대값은 이고 극소값은 1
7.
<풀이>
∴
그러나 이므로 가능한 점들은
∴극대값은 이고 극소값은
8.
<풀이>
∴
∴가능한 점들은 이고,
∴극대값은 이고 극소값은
9.
<풀이>
∴
∴가능한 점들은 이고,
∴극대값은 이고
극소값은
10.
<풀이>
내부영역에 대해 임계점을 찾으면, 이므로
유일한 임계점은 이고
경계면에 대해 라그랑주 승수법을 사용하면
∴라 하면
∴
∴의 제약하에서
∴최대값은
최소값은
11.
<풀이>
∴
∴을 에 대입하면 최대생산이 된다.
12.
<풀이> 직사각형의 가로와 세로를 라 하면
∴변이 일 때 직사각형의 넓이는 최대가 된다.
13.
<풀이> 이라 하면
의 제약하에서 최소가 되는 를 찾는다.
∴
이를 제약식에 대입하면
∴
∴최소거리
14.
<풀이>
이라면
∴
이라면
∴
∴가능한 점들은 이고
최소값은
15.
<풀이>
∴
16.
<풀이> 차원이 라면
∴
∴
∴가장 큰 직육면체의 부피는
17.
<풀이>
∴
그러나
∴이므로 부피는
18.
<풀이>
∴
19.
<풀이> 의 제약하에서
의 최대값을 구한다.
∴
∴
∴제약식에 대입하면 이고
최대부피는
20.
<풀이> 두 제약식 하에서
의 극값을 찾는다.
∴, ,
(1)과 (2)로부터
∴라면,
이를 (3)에 대입하면
그러나 를 (1)에 대입하면
∴
∴(4)와 (5)는 가 된다.
∴이고 (4), (5)는 이고 이는 이다.
∴
∴가장 가까운 거리는 이고,
가장 먼 거리는
21.
<풀이>
∴
∴
CAS를 이용하면 다음의 4개의 실제치를 얻을 수 있다.
∴최소값은
최대값은
22.
(a) 제약식 하에서
의 최대값을 구한다.
∴
∴이고 이므로
∴는 극값으로 의 유일한 점을 갖는다.
∴최대값은
(b) (a)로부터 는 의 최대값이다.
∴
그러나 이므로
등호는 일 때 성립.

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