가우스 구적법 (Gauss Quadrature)

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목차

Gauss Quadrature


1. Gauss Quadrature (가우스 구적법)
2. 이론해 계산
3. 프로그램 알고리즘
4. 프로그램 리스트
5. 수치 적분 결과
6. 이론 해와 결과 비교 및 분석 고찰

본문내용

=2,3,4,5,6)
step 4 포인트에 맞는 weighting factor와 function arguments 를 찾는다.
step 5 이렇게 나온 x값을 원식 ()
에 넣는다.
step 6 을 구한다.
<플로우차트>
4. 프로그램 리스트
%n=2
clear all
format long
func=\'0.2+25*x-200*x^2+675*x^3-900*x^4+400*x^5\'
a=0; b=1;
xi1=0.577350269; xi2=-0.577350269;
c1=1.0; c2=1.0;
x1=(b+a)/2+(b-a)/2*xi1; x=x1; f1=eval(func);
x2=(b+a)/2+(b-a)/2*xi2; x=x2; f2=eval(func);
root=(b-a)/2*(c1*f1+c2*f2);
disp(sprintf(\'when n=2, 0 %n=3
clear all
format long
func=\'0.2+25*x-200*x^2+675*x^3-900*x^4+400*x^5\'
a=0; b=1;
xi1=0; xi2=0.774596669; xi3=-0.774596669;
c1=0.8888889; c2=0.5555556; c3=0.5555556;
x1=(b+a)/2+(b-a)/2*xi1; x=x1; f1=eval(func);
x2=(b+a)/2+(b-a)/2*xi2; x=x2; f2=eval(func);
x3=(b+a)/2+(b-a)/2*xi3; x=x3; f3=eval(func);
root=(b-a)/2*(c1*f1+c2*f2+c3*f3);
disp(sprintf(\'when n=3, 0 %n=5
clear all
format long
func=\'0.2+25*x-200*x^2+675*x^3-900*x^4+400*x^5\'
a=0; b=1;
xi1=-0.906179846; xi2=-0.538469310; xi3=0; xi4=0.538469310; xi5=0.906179846;
c1=0.2369269; c2=0.4786287; c3=0.5688889; c4=0.4786287; c5=0.2369269;
x1=(b+a)/2+(b-a)/2*xi1; x=x1; f1=eval(func);
x2=(b+a)/2+(b-a)/2*xi2; x=x2; f2=eval(func);
x3=(b+a)/2+(b-a)/2*xi3; x=x3; f3=eval(func);
x4=(b+a)/2+(b-a)/2*xi4; x=x4; f4=eval(func);
x5=(b+a)/2+(b-a)/2*xi5; x=x5; f5=eval(func);
root=(b-a)/2*(c1*f1+c2*f2+c3*f3+c4*f4+c5*f5);
disp(sprintf(\'when n=5, 0 %n=6
clear all
format long
func=\'0.2+25*x-200*x^2+675*x^3-900*x^4+400*x^5\'
a=0; b=1;
xi1=-0.932469514; xi2=-0.661209386; xi3=-0.238619186; xi4=0.238619186; xi5=0.661209386; xi6=0.932469514;
c1=0.1713245; c2=0.3607616; c3=0.4679139; c4=0.4679139; c5=0.3607616; c6=0.1713245;
x1=(b+a)/2+(b-a)/2*xi1; x=x1; f1=eval(func);
x2=(b+a)/2+(b-a)/2*xi2; x=x2; f2=eval(func);
x3=(b+a)/2+(b-a)/2*xi3; x=x3; f3=eval(func);
x4=(b+a)/2+(b-a)/2*xi4; x=x4; f4=eval(func);
x5=(b+a)/2+(b-a)/2*xi5; x=x5; f5=eval(func);
x6=(b+a)/2+(b-a)/2*xi6; x=x6; f6=eval(func);
root=(b-a)/2*(c1*f1+c2*f2+c3*f3+c4*f4+c5*f5+c6*f6);
disp(sprintf(\'when n=6, 0 5. 수치 적분 결과
n = 2
0.894444445584839
n = 3
1.450000016639698
n = 5
1.450000049832863
n = 6
1.449999914305718
<표 1 수치적분결과>
<그림 2 수치적분결과>
6. 이론 해와 결과 비교 및 분석 고찰
-이론 해와 결과 비교
이론해
수치해석값
1.45
n = 2
0.894444445584839
n = 3
1.450000016639698
n = 5
1.450000049832863
n = 6
1.449999914305718
<표 2 이론 해와 수치해석값>
이론 해와의 오차
오차값(절대값)
n=2일 때 이론 해와의 오차
0.55555555441516
n=3일 때 이론 해와의 오차
1.663969806386945e-008
n=5일 때 이론 해와의 오차
4.983286294724110e-008
n=6일 때 이론 해와의 오차
8.569428189275641e-008
<표 2 이론해와 수치해석값의 비교>
-분석 및 고찰
수치 해석 값과 이론 값 사이에는 엄연한 오차가 발생 하였다.
오차는 생각보다 컸으며 n=2일 때는 그 오차 값이 매우 커 수식을 잘못 사용하였는지 재검토 할 정도였다. 또 n=3 일 때 보다 n=5 , n=6 일 때 오차 값이 더 커 의아한 점이 있었다. 이를 분석 하여보니 0 <그림 3 (0
또 초반에 언급했듯이 n값이 커지면 오히려 round off error 발생률이 커진다. 따라서 작은 오차들이 모였기 때문에 n=3 일 때 보다 너 오차 값이 커졌을 것이다. 범위 내에 음수로 나오는 범위와 양수범위간의 차에서 유효 숫자로 인한 오차가 발생할 가능성이 매우 높다.

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