공업수학) 질량 m인 물체가 중력가속도 g로 정지상태에서 자유낙하한다

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목차

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1. 질량 인 물체가 중력가속도 로 정지상태에서 자유낙하한다. 물체는 속도 에 비례하는 공기에 대한 저항 를 받는다고 한다. 다음 물음에 답하라.
1) 자유낙하하는 물체에 대한 미분방정식을 세워라.
2) 위에서 세운 미분방정식의 일반해를 구하라.
2. 참고문헌

본문내용

. 물체에 작용하는 총 힘은 중력 와 속도에 비례하는 공기 저항 의 합이다. 여기서 은 물체의 질량, 는 중력 가속도, 는 공기 저항 상수, 그리고 는 속도이다.뉴턴의 제2법칙에 따르면, 물체에 작용하는 총 힘은 질량과 가속도의 곱과 같다. 따라서 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서 는 가속도이다. 공기 저항을 고려하면, 물체에 작용하는 총 힘은 중력과 공기 저항의 합이므로,
가속도는 속도의 시간에 대한 미분이므로, , 이를 대입하면
이것이 자유 낙하하는 물체에 대한 미분방정식이다.
2) 위에서 세운 미분방정식의 일반해를 구하라.
미분방정식의 해를 찾는 과정은 일반적으로 적분을 포함하며, 이 과정에서는 물리학적 조건과 초기 조건을 고려하여 적분 상수를 결정해야 한다. 이 경우에는 물체가 정지 상태에서 시작한다는 초기 조건, 즉 이 적용된다. 이 초기 조건을 사용하여 적분 상수를 구하고, 이를 통해 물체의 속도에 대한 구체적인 식을 얻을 수 있다. 이 식은 물체가 시간이 지남에 따라 어떻게 가속되는지를 보여준다. 이제 위에서 세운 미분방정식을 풀어 일반해를 구할 수 있다. 방정식을 재배열하여
양변을 적분하게 되면
이를 풀면,
여기서 는 적분 상수이다. 이 식을 속도 에 대해 풀게 되면,
이것이 주어진 조건에서 자유 낙하하는 물체의 속도에 대한 일반해이다. 초기조건 을 적용하면, 적분 상수 의 값을 구할 수 있다. 일반해에서 을 대입하면
위 식을 재배열하여 에 대해 풀면,
이제 양변에 자연로그 을 적용하여 를 풀게되면
따라서 초기조건을 활용한 적분 상수 의 값은 아래와 같다.
2. 참고문헌
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키워드

공업수학,   질량,   물체,   중력가속도,   정지상태,   자유낙하