2024년 2학기 방송통신대 대학수학의이해 중간과제물)자신의 생성형 인공지능 사용 경험이나 간접적인 경험을 토대로 이러한 생성형 인공지능의 출현이 수학 학습에 미치는 영향에 대해 논하고 이러한 상황에서 바람직한 수학 학습 수학 교육의 방향 등

소개글

2024년 2학기 방송통신대 대학수학의이해 중간과제물)자신의 생성형 인공지능 사용 경험이나 간접적인 경험을 토대로 이러한 생성형 인공지능의 출현이 수학 학습에 미치는 영향에 대해 논하고 이러한 상황에서 바람직한 수학 학습 수학 교육의 방향 등에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 빅데이터 시대에 이르러 축적된 방대한 데이터와 급속한 기술의 발전은 생성형 인공지능의 밑바탕이 되었다. 생성형 인공지능은 다양한 수학기호로 표현된 연산은 물론, 자연어를 통한 명령을 인식하고 처리하는 데 있어 상당한 수준의 과업 처리 능력을 보여주고 있다. 이러한 생성형 인공 지능의 출현에 관해 수학(Mathematics) 학습의 측면에서 긍정적인 면뿐만 아니라 부정적인 측면의 우려도 제기되고 있다.
① 자신의 생성형 인공지능 사용 경험이나 간접적인 경험을 토대로 이러한 생성형 인공지능의 출 현이 수학 학습에 미치는 영향에 대해 논하고 ② 이러한 상황에서 바람직한 수학 학습, 수학 교육 의 방향은 어떻게 나아가야 바람직할지 자신의 견해를 독창적으로 논하시오. (단, 상업적 자료나 타인의 과제와 한 문장 이상 동일하면 자동적으로 표절로 판명되어 0점 처리되므로 이에 유의하여 반드시 독창적으로 기술하시오. 또한, 과제 제출 양식을 기준으로 아래아한글 이용 시 글자 크기 11 pt, 줄간격 160%로, MS word 이용 시 글자 크기 11 pt, 줄간격 1.5로 하여 A4 한 페이지 분량 으로 기술하시오.) (총 9점)
1) 생성형 인공지능이 수학 학습에 미치는 영향
2) 생성형 인공지능의 출현 이후 바람직한 수학 학습과 수학 교육의 방향
2. 실수 구간 S가 있다고 할 때 그 구간에 속한 실수에 관해 다음 물음에 답하시오. (총 8점)
1) 상계, 하계, 최소 상계, 최대 하계의 정의를 기술하시오. (4점)
2) 상계만 존재하고 하계, 최댓값, 최솟값은 존재하지 않는 구간의 예를 들어보시오. (2점)
3) 하계와 최솟값은 존재하나 상계와 최댓값은 존재하지 않는 구간의 예를 들어보시오. (2점)
3. 급수 는 발산하는지 수렴하는지를 판정하시오. (교재에서 이를 뒷받침하는 적절한 정리를 찾아서 제시할 것) (총 5점)
4. 다음 문제의 풀이과정과 답안을 상세하게 제시하시오. (총 8점)
1) 의 수렴 여부를 판정하시오. (4점)
2) 의 값의 존재 여부를 판단하기 위해 적절한 그래프의 개형을 그리고 이를 통해 답안을 유추하시오. (4점)
5. 참고문헌

본문내용

, 구간 S는 b에 의해 아래로 유계되었다고 한다. 만약 b가 구간 S에 속하면 b는 구간 S의 최솟값이라고 하고, 그 구간의 하계가 없다면 이는 아래로 유계되지 않았다고 한다.
상계나 하계는 일반적으로 유일하게 결정되지 않는다. 어떤 구간 S의 최소 상계(least upper bound)는 모든 상계 중에서 최소인 수이다. 구간 S의 최대 하계(greatest lower bound)는 모든 하계 중에서 최대인 수이다. 최소 상계, 최대 하계가 존재하면 그것은 유일하게 결정된다.
2) 상계만 존재하고 하계, 최댓값, 최솟값은 존재하지 않는 구간의 예를 들어보시오. (2점)
S = (∞,1)
이 구간은 1보다 작은 모든 실수를 나타내지만 1 자체는 포함하지 않는다. 또한 이 구간은 왼쪽으로 음의 무한대 방향으로 무한히 확장된다. 따라서 이 구간에서는 상계 1만 존재하고 하계, 최댓값, 최솟값은 존재하지 않는다.
3) 하계와 최솟값은 존재하나 상계와 최댓값은 존재하지 않는 구간의 예를 들어보시오. (2점)
S = [1,∞)
이 구간은 1 이상의 모든 실수를 나타낸다. 이 구간은 1에서 시작하여 양의 방향으로 무한히 확장된다. 따라서 이 구간에서는 1은 하한과 최솟값에 해당하지만, 상계와 최댓값은 존재하지 않는다.
3. 급수 는 발산하는지 수렴하는지를 판정하시오. (교재에서 이를 뒷받침하는 적절한 정리를 찾아서 제시할 것) (총 5점)
<정리 3.13>(p.92)에 따르면, 단조감소하는 양항수열 {}에 대하여 교대급수 이 수렴할 필요충분조건은 이다.
급수 는 교대급수(교대수열의 무한급수)로 일반항이 이다.
먼저 양항수열 이 단조감소하는지 증명해야 한다.
는 분모의 이 증가할수록 감소하므로, 은 단조감소하는 수열이다.
이 단조감소하므로 교대급수가 수렴하기 위해서는 양항수열이 0에 수렴해야 한다.
이므로 교대급수 는 수렴하게 된다.
4. 다음 문제의 풀이과정과 답안을 상세하게 제시하시오. (총 8점)
1) 의 수렴 여부를 판정하시오. (4점)
<정리 3.11>(p.90)의 급수 판정법에 따르면, 무한급수 은 일 때 발산한다.
수열 에서 이고, 인 경우에 해당하므로, 주어진 급수는 발산한다.
2) 의 값의 존재 여부를 판단하기 위해 적절한 그래프의 개형을 그리고 이를 통해 답안을 유추하시오. (4점)
cos(x)/x는 x=0에서는 정의되지 않다. 그런데 x가 0에 가까워질 때, cos(x)의 값은 [-1, 1] 사이의 작은 범위 내에서 변동하므로, 함수는 양의 무한대와 음의 무한대로 발산한다. 반면, x가 0에서 멀어질수록, 즉 x값이 증가할수록 [-1, 1] 사이의 작은 범위 내의 분자에 비해 분모 x는 무한대로 커지므로 cos(x)/x는 0에 가까워진다. 또한 cos(x)의 주기성에 따라 cos(x)/x도 주기적인 형태를 보인다. 그러나 x의 절댓값의 크기가 커지면서 각 주기마다 그래프의 진폭은 지속적으로 감소하게 된다. 이상의 내용를 바탕으로 그래프의 개형을 그리면 하단에서 파이썬의 Matplotlib 라이브러리를 이용하여 그린 그림3 과 유사해질 것이다.　따라서 의 값은 존재하지 않는다.
wxMaxima를 사용한 결과도 그림1, 2에서 확인되듯이 앞서 유추한 결과와 다르지 않다. 즉, 는 x=0에서 수렴하지 않고 발산한다. 그래프를 보면 x=0에서의 좌극한은 음의 무한대, 우극한은 양의 무한대로 발산함을 알 수 있다.
참고로 wxMaxima에서 평면 그래프를 그리는 명령어는 wxplot2d이다.
wxplot2d 명령어의 인자로는 그래프를 그릴 함수식과 x값의 범위를 지정해주면 된다.
단, 그래프를 그리기 위해서는 엔터키 대신 ‘Shift+Enter\'를 입력해야 한다.
또한 함수의 극한값은 limit 명령어를 사용한다.
이때 명령어의 인자는 함수와 극한값을 확인하고 싶은 x의 값을 위 그림처럼 입력해주면 된다.
문제는 x=0에서의 극한값을 구하는 것이므로 x값으로 0을 인자로 선택한 것이다.
wxMaxima 설치 과정을 간략히 설명한다.
https://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/download.html에서
windows(including Gnuplot + Maxima)를 클릭한 후, 가장 최신 버전(5.47.0-Windows)을 선택하고 maxima-5.47.0-win64.exe 파일을 다운하여 설치하면 된다.
파이썬의 Matplotlib 라이브러리를 이용하여 cos(x)/x의 그래프를 그려보면, 앞서 유추했던 모양과 유사함을 알 수 있다. 진폭의 크기가 너무 작아 x값이 어느 정도 커지면 그래프는 x축과 거의 일치하는 것처럼 보인다.
참고로 위 그래프를 그리는 데 사용한 파이썬 코드는 다음과 같다.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 데이터 생성
x = np.linspace(-20, 20, 400) # x 범위 설정
x = x[x != 0] # x=0을 제외하여 나눗셈 오류 방지
y = np.cos(x) / x
# 그래프 그리기
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label=\'y=cos(x)/x\')
plt.axhline(0, color=\'black\',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color=\'black\',linewidth=0.5)
plt.title(\'Graph of y=cos(x)/x\')
plt.xlabel(\'x\')
plt.ylabel(\'y\')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
5. 참고문헌
장영재·이긍희·김병찬·유원석(2020) 대학수학의 이해, 방송대출판문화원
wxMaxima 다운로드
https://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/download.html
wxMaxima 사용법 동영상
https://www.youtube.com/watch?v=IctYqh6NdEc&list=PLGfO3O2Px4lFmTHUWEC2WLHEjhlA1vnbi
https://blog.naver.com/kckoh2309/222116794200

키워드

방송통신대대학수학의이해,   방송대대학수학의이해,   방통대대학수학의이해