z변환에 대하여

목차

1. 서론

2. z 변환

3. 이산시간 신호의 z변환

4. 이산시간 시스템의 z 변환 표현

5. z 역변환

6. 몇 가지 z변환

본문내용

]~=~ -3 left ( { 1 over 2} right)^n u[-n-1]` +` 2 left ( { 1 over 3} right)^n u[-n-1]
(48)
(예) 위의 예의 시스템에 스텝 입력
u[n]
이 들어왔을 때 출력을 구하는 방법
스텝 입력의 z변환:
eqalign {U(z)~=~ &1 + z^-1 + z^-2 + cdots ##
=~& 1 over { 1 - z^-1}` ,~ |z`|~>~1 }
(49)
위 시스템도 인과 시스템이어서
|z|
> 1/2에서 정의된 것이라 하면
출력
y[n]
의 z변환
Y(z)
도 물론
|z|
> 1에서 정의되며 다음과 같다.
Y(z)~=~ 1 over { left( 1- z^-1 right) left( 1 - { 1 over 2 } z^-1 right) left( 1 - { 1 over 3 } z^-1 right) }```,~``|z`|~>~1
(50)
⇒ 부분합 표현을 하여 역 z변환을 수행함으로써 출력을 구할 수 있다.
(Remark) 부분합 표현을 이용한 역 z변환 구하기에서 주의할 점
분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같은 경우에는
다항식 나누기를 한 번 수행한 후에 부분합을 구해야 한다는 것
(예)
H(z)~ = ~ { 1 + {1 over 6} z^-1 + { 2 over 3} z^-2}
over { 1 - {5 over 6} z^-1 + { 1 over 6} z^-2}
(51)
위의 식을 직접
z^{-1}
에 관하여 유리식의 나눗셈을 수행하여
다음 식 (52)와 같이 나타낸 후 두번째 항을 부분합으로 표현
→ 첫 항은 역변환을 하면
4 delta[n]
이고 두번째 항의 역변환은 위의 예와 같은 방법
H(z)~ = ~ 4 + { -3 + {7 over 2} z^-1 }
over { 1 - {5 over 6} z^-1 + { 1 over 6} z^-2}
(52)
(예) 분모가 1차식들로 인수분해되지 않고 허수 근을 갖는 경우
⇒ 우리가 다루는 시스템은 실계수를 가지며 항상 켤레 복소근을 가지므로
허수도 일반적인 근으로 생각하여 위와 같이 역변환을 해도 되고,
z변환 표를 보고 유추해도 된다.
H(z)~ = ~ 1 over { 1 - {1 over 2} z^-1 + { 1 over 4} z^-2}
(53)
⇒
H(z)~=~ 1 over {left( 1 - { 1 over 2 } e^{j { pi over 3 }} z^-1 right)
left( 1 - { 1 over 2 } e^{-j { pi over 3 }} z^-1 right) }
(54)
부분합 표현
H(z)~=~ 1 over { 1 - e^{ -j { 2pi over 3 }} }` CDOT ` 1 over { 1 - { 1 over 2 } e^{ j { pi over 3 }} z^-1 } `+`
1 over { 1 - e^{ j { 2pi over 3 }} } `cdot` 1 over { 1 - { 1 over 2 } e^{ -j { pi over 3 }} z^-1 }
(55)
역변환
h[n]~=~ 1 over { 1 - e^{ -j { 2pi over 3 }} }~ cdot { left ( { { 1 over 2 } e^{ j { pi over 3 }} right )^n }} `+`
1 over { 1 - e^{ j { 2pi over 3 }} } `cdot` { left ( { { 1 over 2 } e^{ -j { pi over 3 }} right) ^n }}
(56)
계수가 실수인 경우에는 위와 같이 두 항이 서로 켤레복소수
eqalign{ } h[n]~=~ &2 Re ~LEFT {~ 1 over { 1- e^{ - j { 2 over 3}pi }} ~left( 1 over 2 right)^n ~ e^{ j { pi over 3}n } ~RIGHT } ###
=~& 2 ~left( 1 over 2 right)^n Re ~LEFT { ~left( 1 over 2 `-` sqrt3 over 6 j right) ~ left( cos pi over 3 n` + `j` sin pi over 3 n right)~ RIGHT }###
=~& 2 ~left( 1 over 2 right)^n ~LEFT { ~ 1 over 2 cos pi over 3 n` + sqrt 3 over 6 sin pi over 3 n ~RIGHT } ###
=~& ~left( 1 over 2 right)^n ~ ~left{ cos pi over 3 n` + sqrt 3 over 3 sin pi over 3 n ~right}
(59)
6 몇 가지 z변환
몇 가지 자주 사용되는 신호의 z변환
delta [n]~~~~<->~~~~1~~,~~~~ROC~:~~ all~ z
(60)
n a^n u[n]~~~~<->~~~~ az^-1 over {( 1 - a z^-1 )}^2 ~,~ROC~:~|z`|~>~|a`|
(61)
-n a^n u[-n-1]~~~~<->~~~~ az^-1 over {( 1 - a z^-1 )}^2 ``,~`ROC~:~|z`|~<~|a`|
(62)
[cos OMEGA_0 n]` u[n]~~~~<->~~~~ { 1 - [cos OMEGA_0 ] z^-1} over { 1 - [2cos OMEGA_0 ] z^-1 + z^-2 }``,~ROC~:~|z`|~>~1
(63)
[sin OMEGA_0 n]` u`[n]~~~~<->~~~~ { [ sin OMEGA_0 ] z^-1} over { 1 - [2cos OMEGA_0 ] z^-1 + z^-2 }``,~ROC~:~|z`|~>~1
(64)
[ r^n cos OMEGA_0 n]` u[n]~~<->~~ { 1 - [ r cos OMEGA_0 ] z^-1} over { 1 - [2 r cos OMEGA_0 ] z^-1 + r^2 z^-2 }`,~ROC~:~|z`|~>~r``
(65)
[ r^n sin OMEGA_0 n]` u[n]~~<->~~ { [ r sin OMEGA_0 ] z^-1} over { 1 - [2cos OMEGA_0 ] z^-1 + r^2 z^-2 }``,~ROC~:~|z`|~>~r`
(66)

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Z변환,   이산시간 시스템,   이산시간 신호,   푸리에변,   라플라스,   역변환