복수함수론

목차

●도함수

● 지수함수

● 삼각함수

● 복소지수

본문내용

{p(z_0 )} over {q'(z_0 )}
이다.(증명 : 각자 해볼 것)
(예) 정함수
p(z) = cos z
,
q(z) = sinz
은 상인 함수
f(z) = cotz = cosz over sinz
를 생각해보면
f(z)
의 특이점은
z=n pi
이다.
p(n pi) !=0 , q(n pi)=0 , q'(n pi ) !=0
이므로 특이점
z=n pi
들은
유수
b_1 = {p(n pi ) } over {q'(n pi)} = 1
을 갖는 단극이다.
(예)
p(z)= z , q(z) = z^4 + 4
라 놓고 고립특이점
z_0 = sqrt2 e^{i pi /4} = 1+i
에서 함수
f(z) = z/(z^4 + 4)
의 유수를 구해보자.
q(z_0 ) = 0
이고,
p(z_0 ) = z_0 !=0
이므로
f
는
z_0
에서 단극을 갖고, 유수는
b_1 = 1 over {4z_0^2 } = 1 over 8i = - i over 8
이다.
코시부등식과 그 응용
(1) 가우스의 평균값 정리
f
가 원
C~: vert z-z_0 vert =R
을 포함하는 단순연결영역
D
에서 해석적이면
f(z_0 ) = 1 over 2pi int_0^2pi f(z_0 +Re^{i theta} ) d theta
이다.
(증명)
f
가
D
에서 해석적이고,
z_0 in D
에서 코시적분공식에 의해
f(z_0 ) = 1 over 2pii int_C f(z) over { (z-z_0 ) }dz
---(*)
이므로
z=z_0 + Re^{i theta}
에서 양변을 미분하면
dz = Rie^{i theta} d theta
이다. 이식을 (*)에 대입 하면
1 over 2pii int_0^2pi {f(z_0 + Re^{i theta})} over {Re^{i theta}} Rie^{i theta} d theta
= 1 over 2pi int_0^2pi {f(z_0 + Re^{i theta}}) d theta
이다.
(예)
f(z) = e^z over { z-5i}
일 때
int_0^2pi f(i+e^{i theta} ) d theta
를 계산하여라.
(2) 편각의 원리
복소함수
f(z)
가 단일폐곡선
C
내부에서
N
개의 영점과
P
개의 극점을 가질 때 다음이 성립한다.
int_c f~'(z) over f(z) dz = i TRIANGLE _c arg f(z)
(증명)
int_c d over dz ln f(z) dz = ln f(z) vert_c
=
ln vert f(z) vert e^{iargf(z)} vert_c = ln vert f(z) vert vert_c + i argf(z) vert_c
=
iarg f(z) vert_z
=
i TRIANGLE _c arg f(z)
(3)
1 over 2pi { TRIANGLE } _c ~arg f(z) = N-P(N~:
영점의 수 ,
P~:
극점의 수)임을 증명하여라.
1) 영점의 수가
N
개일때의 식
N= 1 over 2pii int_C f~'(z) over f(z) dz
2) 극점의 수가
P
개일때의 식
-P = 1 over 2pii int_c f~'(z) over f(z) dz
3) 영점의수가
N
개이고 극점의 수가
P
개일때의 식
N-P
=
1 over 2pi int_c f~'(z) over f(z) dz
(예제) 복소함수
f(z) = {(z-i)^6 (z-3i)^3 } over { (z-1)^2 (z+i)^3 } e^z
에 대하여 다음 물음에 답하여라.
1) 복소선적분
int_{vert z vert =2} f~'(z) over f(z) dz
의 값을 구하여라.
(풀이)
f(z)
가
vert z vert <2
내에서 영점:
6
, 극점 :
5
갖는다. 편각의 원리를 이용하여
int_{vert z vert =2} f~'(z) over f(z) dz
= 2pii(6-5) = 2pii
이다.
2) 복소선적분값이 다음과 같을 때
r
의 조건을 구하시오.
int_{vert z vert =r} f~'(z) over f(z) dz = 8pii
(풀이)
f(z)
에서
r >3
이면 영점의 수는 9개 극점의 수는 5개 이므로 편각의 원리에 의해
2pii ( 9-4) = 8pii
이 됨을 알 수 있다.
3) 복소선적분
int_{vert z vert =2} z^3 f~'(z) over f(z) dz
의 값을 구하시오.
(풀이)
int_c g(z) f~'(z) over f(z) dz = N int_c g(z) 1 over f(z) dz - P int_c g(z) 1 over f(z) dz
=2piiNg(z_0 ) - 2piiPg(z_0 )
(4) 로쉬(Rouche)의 정리
p(z) = f(z)+g(z)
이고
vert z vert <=a
에서
f
와
g
가 해석적이다.
vert z vert =a
일 때,
vert g(z) vert <= vert f(z) vert
이면
vert z vert 에서
f(z)
의 영점의 수와
p(z)
의 영점의 수는 같다.
(증명)
p(z)
는 정함수이고 ,
p(z) = f(z)+g(z)=f(z)(1+ g(z) over f(z) )
에 대하여
TRIANGLE _c arg p(z) = TRIANGLE _c arg f(z) + TRIANGLE _c arg (1+ g(z) over f(z) )
이고 (
TRIANGLE _c arg(1+ g(z) over f(z) )
는
vert z vert =a , g(z) vert g(z) over f(z) vert < 1
이므로
TRIANGLE _c arg(1+ g(z) over f(z) ) =0
이다.)
따라서
TRIANGLE _c arg p(z) = TRIANGLE _c arg f(z)
이 성립하고 양변을
1 over 2pi
로 나누면
N=N~'
으로 같다. (이것은 해의 존재성가 관련이 있다.)

키워드

복수함수론,   관계식,   정의역,   해석,   편도함수