괴델의 불완전성에 대하여

소개글

괴델의 불완전성에 대하여에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 머리말

2. 괴델의 불완전성정리의 내용

3. 힐베르트의 계획

4. 괴델의 착상

5. 괴델의 정리와 그 주변

참고문헌

본문내용

증명 가능한 명제를 수학 에서는 정리라 한다. 수학에서 참인 명제는 반드시 정리가 되고, 그 역도 성립한다 고 오래도록 인식되어왔다. 즉, '진리'와 '정리'가 논리적으로 같은 뜻으로 이해 되어 왔다. 그러나 괴델의 제2불완전성정리에 의해 참이지만 정리가 안되는 명제가 제시 됨으로써. 우리의 통념이 무너지고 말았다. 이러한 사실 때문에 수학의 본질에 대한 고찰이 한층 더 심화되고, 증명 가능성이 수학이 참과 거짓이라는 개념으로부터 독 립되어야 하며, 수학의 보다 본질적인 문제는 진리가 아니라 '증명 가능성'의 개념이 되어야한다는 이해가 전적으로 지배하게 되었다.
앞의 설명과 같이, 현대 논리학의 사상은 수학적 진리에 대한 종래의 이해를 크 게 바꾸게 하였으며 수학의 내부뿐만 아니라 철학에서도 진리론이 하나의 과제로 제기되고 있다.
6. 맺음말 앞에서 적은 2절에서와 같이, 수학이 완전하지 않다는 G del의 결과가 수학기초 론, 수학의 철학, 인지과학의 발전에서 확고한 초석이 되었다 하겠다. 수학과 논리학의 기초에 관한 문제는 그동안 별다른 진전이 없었으나, 19세기 말 에 이르러 급속히 발전하였다. 1860∼1960년의 100년 사이에 수리철학의 논리주 의, 형식주의, 직관주의 등과 같이 수학을 보는 철학적인 입장이 각각 정립되었으 며, 이들이 수리철학의 주류를 이루어왔다. 이 세 학파 모두가 수학기초론이 요구하 는 과제를 충족시켜준 것은 아니지만, 오늘날에도 이들의 사상은 자주 인용되고 있 다. 1950년 이후, 수리철학이 새로운 경향의 발전을 보여주는 사상도 있기는 하지 만, 앞의 세 학파를 통합하거나 새로운 방향으로 발전하는 사상은 전혀 찾아볼 수 없다. 다만 특기할 것은, 라드리에르(J. Ladrier)가 1923년 스코램(Skolem)이 얻은결과, 1933년의 타르스키가 얻은 결과, 1963년 처치(Alonzo Chu- rch)가 얻은 결과 등과 함께 괴델의 불완전성정리를 합쳐서 이를 '제한정리'로 불렀다는 것 이다. 이 일련의 정리들인 '제한정리'가 수학 발전의 흐름에서 볼 때, 하나의 패러 다임이 되는 것은 분명하다고 본다.
(이 글은 과학사상 제19호(1996년 겨울호)의 내용을 일부 수정한 것임.)
참고문헌
1. E.W. BETH, Mathematical thought an introduction to the philosophy of mathematics (1965)
2. E. NAGEL and J.R. NEWMAN, G del's proof, New York University Press (1958)
3. IIDA TAKASHI, Reading in the philosophy of mathematics : After G del (일어판) (1995)
4. A.W. MOORE, The infinite (일어판) (1990)
5. J.W. ROBBIN, Mathematical logic, a first course, W.A. Benjamin (1969)
6. 임정대, 수학기초론, 청문각 (1995)

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