피보나치

목차

1. 피보나치는 누구인가?

2. 피보나치 수열이란?

3. 자연에서 보는 피보나치 수열

본문내용

안해 냈다.
꽃잎 뿐 아니라 나뭇잎, 꽃받침 등등에서도 식물의 특성과 피보나치 수열과의 관계를 발견할 수 있지만, 가지 끝 정점에서 형성되는 원시세포라 불리는 작은 덩어리들이 잎이나 꽃잎으로 발전해 나가는 과정에서 만들어지는 생식나선(generative spiral)의 발산각(divergence angle) 또한 흥미 있는 연구의 대상이 되고 있다.
②나뭇잎과 나뭇가지의 패턴
돌려나기를 하는 나뭇잎을 관찰해보자. 과학자들은 여러 가지 관찰을 통해 재미있는 사실을 발견했다.
왼쪽 그림은 전형적인 나뭇잎 배치를 나타낸 것이다.
그림에서 왼쪽의 나뭇잎 나는 모양을 살펴보자. 1번잎에서 시작하여 2번,3번으로 나는 모양을 연결하면 하나의 나선이 생기고(이를 기본나선이라 한다), 6번째 나뭇잎에서 나선모양 2주기가 완성된다. 그 옆의 그림은 위에서 이 나무를 관찰한 것인데 것은 위에서 보았을 때 5회만에 겹쳐 나오게 된다. 그 아래 그림은 다른 나뭇잎인데 역시 1번에서 시작하여 돌려나는 나뭇잎의 모양을 그려보면 나선 모양이 되고, 위에서 관찰하면 8회만에 같은 위치에 나뭇잎이 생기는데 이 동안 그려진 나선은 3주기이다. 즉, 위쪽의 나무는 2회 도는 나선이 5회만에 완성되었고, 아래쪽 나무는 3회 도는 나선이 8회만에 완성되었다. 이를 각각 2/5, 3/8로 표현하자.
a번을 휘감고 도는 나선에 나뭇잎이 n장 달려있을 때, a/n나무라 표현하자.
신기하게도 자연계의 식물들은 다음과 같이 표현되는 나무들이다.
1/2 느릅나무, 보리수, 잔디류
1/3 화본과식물,검은 딸기,너도밤나무,게암나무,피들넥(fiddleneck)
2/5 겨자,개쑥갓(groundsel),장미과 식물,오크(떡갈나무,줄참나무 등), 후추,포플라(백양나무),
사과,가시나무,서양자두(plum),체리,살구
3/8 등대풀(spurge),수양버들,배나무,개아카시아
5/13 쇠뜨기,갯버들,아몬드
1/2,1/3,2/5,3/8,5/13, 13/21...
여기에 등장하는 숫자들의 공통점을 눈치챌 수 있겠는가? 분모끼리 두 항을 더하면 다음 항의 분모가 되고, 분자 역시 이런 성질을 가지고 있다. 즉, 피보나치 수열의 항들인 것이다. 위에서 보았을 때 같은 위치에 나뭇잎이 생기기까지의 갯수는 피보나치의 수이고, 그 동안 생기는 나선의 개수도 역시 피보나치의 수인 셈이다.
한편 이 피보나치수열은 나무의 가지치기에도 나타난다. 옆의 그림이 그것을 보여주고 있다.
처음에는 한 가지에서 나온 2개의 가지가 나온다. 새가지중의 하나가 분지되는 동안 다른 가지는 그대로 있다. 이는 앞에서의 토끼의 번식문제를 떠오르게 한다. 자연계에 존재하는 많은 나무들이 이"sneezewort를 닮았다. 물론 완전한 피보나치수열을 실제 나무에서 찾기는 어려운데 그 나무의 성장에 영향을 주는 환경적 요인들이 작용하기 때문이다.
③씨앗에서 발견되는 패턴
해바라기의 씨앗(이것은 사실 큰 꽃안에 작은 꽃들이 모여서 만들어진 것이다. 이러한 종류를 두상화 composite flower라 하고 이 작은 꽃들의 배열을 꽃차례 inflorescences라 한다. 아주 독특한 방식으로 피보나치수열을 전개하고 있다. 해바라기의 꽃내부를 자세히 들여다 보면 그 속의 씨앗들이 두가지 다른 방향으로 달리고 있음을 볼 수 있을 것이다. 하나는 시계방향으로 배열되어 있고 다른 하나는 시계반대방향으로 배열되어 있다. 그 수는 각 21,34(21/34=0.618)이다. 종류에 따라 큰 해바라기의 경우 55,89,심지어는 89,144의 배열도 있다. 그러나 그 수에 관계없이 두 수가 피보나치수열의 인근값들임에 주목하라. 가끔 원형에서 벗어난 변형된 피보나치 배열도 발견되는데 68,110의 배열이다. 그러나 이것 역시 34,55의 배수라는 점에서 그 비율을 벗어나고 있지 않다
이것은 데이지꽃의 경우에서도 볼 수 있다. 그렇다면 왜 해바라기씨앗들은 이러한 피보나치수열을 취하고 있는 것일까? 이것은 최소공간에 최대수의 씨앗을 배치하는 문제에 대한 解이다.
그 비가 0.618..이 아니고 0.5라고 하자. 그러면 1/2이므로 0.5회전마다 씨앗이 하나(또는 1회전마다 씨앗 2개)놓여지게 되어 결국 씨앗이 직선상의 두 방향으로 뻗어가는 결과가 될 것이다. 이것은 공간 이용상 비효율적이다. 좀더 좋은 방식은 나선형으로 성장해가는 방식인데 이렇게 함으로써 씨앗을 더 밀식시킬수 있고 사실 그 형태상 비바람에도 더 잘 견딜 것이다.
이러한 현상은 솔방울이나 파인애플의 씨앗에서도 관찰된다.

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