컴퓨터를 이용한 함수 교육

목차

함수가 무엇인지 잘 알지 못한다.

독립변수와 종속변수의 대응관계를 명확히 이해하지 못한다.

일차함수 에서 a와 b가 무엇을 의미하는지 제대로 알지 못한다.

이차함수의 평행이동을 잘 이해하지 못한다.

본문내용

으로 보아(1분에 1칸을 올라갔다는 식으로) 기울기를 알 수 있을 것이고 제일 처음 시작하는 점을 보게 되면 3임을 알 수 있다. 이것을 위의 그림과 비교해보면 달라진 것이 b가 더해졌다는 것뿐이므로 바로 b=3임을 알 수 있을 것이다.
본 환경의 특징은 다음과 같다.
* 생활 속에서 쉽게 접할 수 있는 사실을 이용하여 친숙함을 제공한다.
*
y=ax+b
와 같은 일차함수의 구체적인 조작 환경을 제공하고 있다.
* 前수학적 단계를 거치게 해 준다. 즉, 이 자체가 직접적인 수학으로는 볼 수 없을 수 있으나 수학화 되기 위한 준비단계로서 풍부한 수학화의 경험을 제공한다.
이차함수의 평행이동을 잘 이해하지 못한다.
이차함수는
y=ax^{ 2 }
을 기본으로 하여 x축으로 혹은 y축으로의 평행이동에 의하여
y=a(x-p)^{ 2 }
,
y=ax^{ 2 } +q
,
`^{ } y=a(x-p)^{ 2 } +q
의 모양을 가진다. 하지만 학생들은 각각의 경우를 분리하여 생각하고 결국 마지막 식으로 통합될 수 있다는 사실을 잘 깨닫지 못한다.
따라서 위의 식에 대해서 학생들은 다음과 같은 구체적인 오류를 범한다.
* 모든 이차함수의 그래프는 이차항의 계수가 같으면 모양이 같다. 즉 '평행이동 된 것이다.' 라는 성질을 잘 이용하지 못한다.
* 이차함수의 표준형인
`^{ } y=a(x-p)^{ 2 } +q
의 꼭지점 (p, q)를 구하는 데 익숙한 나머지
y=a(x-p)^{ 2 }
,
y=ax^{ 2 } +q
형태의 식에서는 q=0, p=0임을 알지 못한다.
* 축의 방정식 x=p에서 대칭성과 그 p가 꼭지점의 x좌표가 된다는 사실을 잘 알지 못한다.
* 평행이동의 경우 부호의 오류가 많다.
* 정의역의 값이 변할 때 치역의 값의 변화에 대한 이해가 부족하다.
이를 개선하기 위해서 앞의 경우들과 마찬가지로 자바수학 환경을 만들어 줄 수 있다. 아래 그림처럼 포물선을 그린다음, 폭이 변하거나 평행이동을 하면 왼쪽 위의 그래프의 식이 변하도록 한다. 폭과 평행이동의 정도는 아래의 버튼으로 자유롭게 조정할 수 있다.
이런 환경에서 학생이 폭 조절을 하면서 각각의 경우에 어떻게 평행이동을 하든지 이차함수 그래프의 폭은 평행이동에 의해서는 영향을 받지 않는다는 것을 경험시킬 수 있다. 그리고 그래프의 꼭지점이 (0, 0), (p, 0), (0, q)에 놓이도록 평행이동 키를 누르면
`^{ } y=a(x-p)^{ 2 } +q
꼴이었던 이차함수가
y=ax^{ 2 }
,
y=a(x-p)^{ 2 }
,
y=ax^{ 2 } +q
꼴로 변한다는 것을 알게 할 수 있다. 또한 평행 이동시에 이차함수의 부호 변화를 눈여겨보게 하여 부호는 평행이동 된 양과 반대임을 알게 할 수도 있다.
본 환경의 특징은 다음과 같다.
* 이차함수의 구체적인 조작 환경을 제공하고 있다.
* 前수학적 단계를 거치게 해 준다. 즉, 이 자체가 직접적인 수학으로는 볼 수 없을 수 있으나 수학화 되기 위한 준비단계로서 풍부한 수학화의 경험을 제공한다.
* 직관의 객관화 및 분석을 부여해 준다.
* 사고절차의 체계화 및 결점제거를 통해, Piaget의 이론처럼 자연적이면서도 자발적인 학습을 가능하게 한다.
컴퓨터는 학습의 한 매개체로서 중요한 역할을 담당하게 되어 기존 학습 관념에 대한 혁명을 야기하고 있다. 대부분의 학교에서 수업 시간에 교사는 칠판에 수식을 쓰면서 설명하고 학생들은 앉아서 수동적으로 수업을 듣고 있다. 이런 수업에 대해 LOGO를 개발한 Papert 교수는 아동이 알고자 하는 자연스런 지적 호기심을 채워주지 못할 뿐만 아니라 오히려 그러한 지적 호기심을 꺾어버리는 수업이라고 우려하며 아동들에게 자연스런 본능인 알고자 하는 호기심을 만족시켜 주는 교육을 해야 한다고 주장하였다.
그런 이유로 학생들이 많이 겪는 함수에 대한 오류를 짚어 그것을 개선하기 위해서 학생들이 구체적인 조작을 할 수 있도록 하는 자바 수학 환경을 제시해 보았다. 나름대로 소개한 방안이 부족함 감이 없잖아 있지만 학생들이 직접 조작을 해 볼 수 있으므로 함수에 대한 학생들의 그릇된 직관을 고쳐 흑백논리에 의하여 답을 요구하는 기존 교육방식에서 벗어나 동조학습을 유발시킴으로써 총체적이고 종합적인 학습을 하게 할 것이다. 즉, 함수적 사고절차의 체계화 및 결점제거를 통해 Piaget의 이론처럼 자연적이면서도 자발적인 학습, 즉 인식론적 교육이 실현 가능하게 되는 것이다.

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