주응력과 고유값과의 관계

소개글

주응력과 고유값과의 관계에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 서론

2. 본론-mohr's circle
eigenvalue problem
주응력과 고유값과의 관계

본문내용

, 위 식이 성립하면 고유벡터를 가질 수 있다
위의 에 관한 2차식을 풀면 고유값 를 얻을 수 있다
고유값를 식(a)나(b)에 대입하면 고유벡터를 얻을 수 있다
(3) 특성 다항식
▶
이 다항식을 행렬 의 특성다항식이라 한다
특성다항식은 다음과 같이 나타낼 수 있다
1차항의 계수는 대각원소의 합과 같다
상수항은 와 같다
(4) 행렬에 대한 고유값, 고유벡터의 성질
(1) 행렬 는 최소 1개, 최대 개의 고유값을 가진다.
(2) 행렬의 고유값 에 대응하는 고유벡터가 이면 인 상수 에 대해 도 고유벡터이다
(5) 고유값의 합과 곱
특성방정식은 에 관한 차 방정식으로 쓸 수 있다
⇒ 상수항을 구하기 위해 위 식에 을 대입하면
⇒ 위 식에서 항의 계수를 비교하면
※ 위 식들은 고유값의 합과 곱이 가지는 흥미로운 성질을 말해준다
(6) 다중고유값
특성방정식이
과 같이 고유값 이 차의 다중근으로 존재하는 경우
을 의 대수적 다중도 ( algebraic multiplicity ) 라고 한다
이 때, 대응하는 고유벡터의 공간차원을 기하적 다중도 (geometric multiplicity) 라고 한다. 일반적으로
기하적다중도 대수적 다중도
★ 주응력과 Eigenvalue problem과의 관계
Traction vector 가 면에 수직할 때, 즉 단위 수직벡터 이 와 평행할 때는 이다.
그 면에서의 수직 응력 은 존재하지만 전단응력은 없다. 이때의 수직을 응력을 주응 력이라한다. 그 면의 방향과 의 크기를 구하기 위해 식()을 다시 쓰면 다음과 같은 고 유치 문제를 얻는다.
, , Kronecker delta , ,
nontrivial solution을 위해서
여기서 trace ,
식( )의 해는 이다. 일반적으로 대칭이고 real인 matrix의 고유 벡터는 real이고 대응하는 고유벡터 는 서로 수직하다는 것을 증명할 수 있다. 또한 은 극한값(extreme)임을 증명할 수 있다[1]. 어떤 응력 상태를 표현하기 위하여 서로 다른 좌표계를 사용하면 응력 성분은 달라진다. 그러나 주응력 은 그 지점에서의 물리적인 성질을 표시하므로 좌표계에 관계없다. 따라서 식()의 해가 일정하기 위해서는 는 좌표계에 대하여 무관하여야 하고 이들을 1st invariant, 2nd invariant, 3rd invariant 라고 한다.
따라서 서로 수직인 로 구성된 좌표계을 얻을 수 있으며 이것을 주축(principle axes)이라고 한다. 주축에 대하여 표현된 응력을 이용하여 invariant 를 구하면
invariants 는 등방성 재료의 구성방정식에 사용되거나 항복조건에 사용된다.
주응력의 크기를 다음과 같이 정의하면
은 그 점에서의 최대 수직응력을, 은 그 점에서의 최소 수직응력을 나타낸다.
고유치 문제 의 최대 고유치 은 Rayleigh's quotient
의 최대값으로 주어진다.(upper bound)
3개의 주응력의 크기가 같으면 그 점에서의 모든 면에는 전단응력이 존재하지 않는다. 그리
개의 서로 직각인 모든 축은 주 응력축이다. 이러한 응력 상태는 유체인 경우 정지하고 있을
만 나타나다. 따라서 이를 hydrostatic stress 상태, 또는 spherical stress 상태라고 한다.
우리는 어떤 응력 상태를 hydrostatic stress 와 deviatoric stress 로 나타낼 수 있다. 즉,
hydrostatic stress , 또는 hydrostatic pressure 는
변화와 관계가 있는 응력을 나타내고
deviatoric stress 는 모양의 변화와 관계가 있는 응력을 나타낸다.
equilibrium equation
,

키워드

주응력,   모어원,   mohr's circle,   고유값,   행렬,   eigenvalue,   유도