임의의 각의 3등분

목차

Ⅰ. 지금까지 알려진 3등분이 되는 각도

Ⅱ. 각의 3등분 작도문제를 연구한 사람들

Ⅲ. 임의의 각을 3등분 할 수 없는 이유

Ⅳ. 도구를 이용한 임의의 각 3등분

본문내용

점들에 대한 군을 작도할 수 있으나, 이 점들에 대한 군을 연결하는 것은 불가능하기 때문이다.
5. 요르다누스의 각의 3등분 문제
∠POQ를 주어진 각이라고 하자. 점 O에서 반경 r인 원을 그리고 선분 OP 및 OQ와 만나는 점을 각각 A, B라고 한다. 이 때 점 O에서 OB에 수직인 선분 OC를 그린다. OC 위에 점 E를 DE = r이 되도록 잡아 OC를 자르는 현 AD를 작도한다. 그리고, 점 O를 지나고 DA에 평행한 직선 OF를 그리면, ∠POQ = 3∠FOB이다.
>>>>∠POQ = 3∠FOB에 대한 증명
왜냐하면, 가정에서 OF//DE이고 길이가 같으므로 사각형 OFED는 평행사변행이다. OD의 길이 역시 r이므로 OFE는 이등변삼각형이다.
그러므로, ∠OAD = ∠ODA = ∠OFE = ∠FOA = θ 라고 놓으면,
OFE의 내각의 합은 2(90 - ∠AOB + θ) + θ = 180에서
∠AOB = 3θ/2 이다.
따라서 ∠FOB = θ/2 이다.
그러나, DE = r이고 선분 OC 위의 점 E를 지나는 선분 DA를 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 없다.
6. 비에트의 각의 3등분 연구
아르키메데스의 문제에 착안해, 각의 3등분 작도에 대하여 연구하였으나 성공하지는 못했다. 다음 그림처럼 ∠AOB를 주어진 임의각이라고 할 때, 선분 AC에 평행한 직선 OP를 그려 원O와의 교점을 E라고 하면, ∠EOD = 1/3 ∠AOD가 되는 것에서 각의 3등분을 시도하였으나 그는 선분 AC를 작도할 수가 없었기 때문에 각을 3등분할 수가 없었다.
Ⅲ. 임의의 각을 3등분 할 수 없는 이유
1. 작도가능한 수의 성질은?
두 수 a, b 가 작도가능하면 a+b, a-b, a*b, a/b (단, b 는 0 이 아님) 는 작도가능하다.
먼저 a 길이의 두 점 A, B 에 대해 연장선을 긋고, B 에서 길이가 b 인 원을 그려서 연장선과 만나는 점을 구하면 각각 길이가 a+b, a-b 인 점을 작도할 수 있다.
길이 a 인 선분 OA 와 길이 b 인 선분 OB 가 있다고 하고, OA 위에 OC 의 길이가 1 이 되도록 C 를 잡는다. BC 를 잇고, A 에서 BC 와 평행선을 긋는다.
OB 의 연장선과 만나는 점을 D 라고 하면, OD 는 길이가 a*b 가 된다.
길이 a 인 선분 OA 와 길이 b 인 선분 OB 가 있다고 하고, OA 위에 OC 의 길이가 1 이 되도록 C 를 잡는다. C 에서 AB 와 평행선을 긋는다.
OB 의 연장선과 만나는 점을 D 라고 하면, OD 는 길이가 a/b가 된다.
2. 작도가능한 수는 어떻게 판별할 수 있나?
어떤 수가 작도가능하려면, 1 로부터 시작하여 그것들을 더하고 빼고 곱하고 나누고 root 를 취하기를 반복해서 얻어지는 수여야만 한다. 따라서, 본질적으로 유리수 계수 2 차식의 근, 4 차식의 근, 8 차식의 근, ... 등 2^n 차식의 근이 되지 않으면 작도가 불가능하다.
3. 임의의 각의 삼등분은 왜 안 되나? 임의의 각의 삼등분은 왜 안 되나??
(방법1) 크기가 θ인 각을 작도한다는 것은 실수 cosθ를 작도하는 것과 같다.
삼각함수의 공식에 의하여 cos3θ=4cosθ-3cosθ 가 성립한다.
θ=20° 라 하면 cos3θ=
따라서 u=cos20° 라 하면 4u-3u=
이것은 u가 다항식 p(x)=8x-6x-1∈Q[x]의 근임을 뜻한다.
한편, 이 다항식 p(x)는 Q위에서 기약임을 다음과 같이 밝힐 수 있다.
p(x)가 Q위에서 기약이 아니라고 가정하면 Q내에 한 근을 갖고 그 근은 ±, ±, ±, ±1 중에서 찾을 수 있다. 그러나 이들 어떤 수도 p(x)의 근이 아니므로 p(x)는 Q위에서 기약이다.
따라서 [u : Q]=3이고, 이것은 2의 거듭제곱이 아니므로 u는 작도불가능하다. 그러므로 크기가 20°인 각은 작도불가능하다.
cf) 실수 u가 작도가능하면, u는 유리수체 Q위에서 대수적이고 Q위의 u의 차수는 2의 거듭제곱과 같다. 즉 [u : Q]=2(m≥0). 특히 [u : Q]가 2의 거듭제곱이 아니면 u는 작도불가능하다.
(방법2)컴퍼스로 그리는 원은 ‘이차식’이면, 자로 그리는 직선은 ‘일차식’이므로, 작도란 일차식과 이차식들을 연립해서 푸는 것이다. 따라서 이런 과정을 통해서는 삼차식은 풀 수 없다. 60°를 삼등분하려면 20°를 작도해야 하는데, cos20°는 삼차식의 근이므로 작도가 안 된다. (즉, 자와 컴퍼스로 작도가 안 된다)
그렇다면 90°의 삼등분은 왜 될까??
cos30°= 는 2차식 4x-3=0의 근이기 때문이다.
Ⅳ. 도구를 이용한 임의의 각 3등분
유클리드 기하학에서는 접히는 컴퍼스와 눈금 없는 자만을 이용하여 작도하였다. 그러나 이는 Wantzel과 Lindemann에 의해서 불가능함이 증명되었으나, 다른 도구를 이용하여 임의의 각을 3등분하는 방법은 여러 가지가 발명되었다.
1. 토마호크(Tomahawk) : 1835년에 쓰인 작자미상의 서적을 통해 알려짐
☞토마호크는 = = 가 되게 만들어진 것으로, 임의각인 를 3등분하기 위하여 토마호크를 이 각의 한 변 위의 R에서 만나고 가 점B를 지나게 한 다음, 다른 한 변 가 점D에서 반원과 접하도록 놓는다.
그러면, 세 삼각형 , , 는 모두 합동이므로 선분 와 는 주어진 각을 3등분한다.
(가 반원에 접하므로 = 90°이고, = 이기 때문에 는 이등변삼각형이고, 가 이 이등변삼각형을 수직이등분하기 때문에 , 는 서로 합동이다. 또한 가 반원과 접하므로 = 90°이고, = 이며, 가 겹치므로 두 직각삼각형 , 는 합동이다.(RHS) 따라서 세 삼각형 , , 는 모두 합동이다.)
2. 합성컴퍼스
⇒
이 컴퍼스는 마름모의 성질을 이용한 것으로, 네 변의 길이가 같은 마름모의 정의를 따라 = = = 가 같게 만들었다. 따라서 □OABC는 마름모이며, 대각선인 는 를 이등분한다. 그러므로 = 이며, 같은 방법으로 = 임을 증명할 수 있고, 따라서 는 항상 삼등분된다.
* 참고문헌 *
김휘암, 2425년간의 침묵과 고독, 참사랑, 2001
이종우, 기하학의 역사적 배경과 발달, 경문사, 2004

키워드

임의의 각,   3등분,   삼등분