[과외]중학 수학 중2-2중간 명제와증명(핵심예상)

목차

1. 핵심기출문제

2. 해답과 풀이

본문내용

은 삼각형은 이등변삼각형이다」는 정의이다.
②「정삼각형은 이등변삼각형이다」는 정리이다.
③「평행사변형은 두 쌍의 대변이 평행한 사각형이다」는 정리이다.
④「마름모의 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다」는 정의이다.
⑤「삼각형의 내각의 크기의 합은이다」는 정의이다.
25. 다음은 증명 과정을 순서없이 나열한 것이다. 순서대로 나열한 것은?
㉠ 결론이 성립하기 위한 조건을 찾아낸다.
㉡ 주어진 명제를 가정과 결론으로 나눈다.
㉢ 가정과 관련된 필요한 사항을 생각한다.
㉣ 증명 방법을 세우고 차례로 설명한다.
① ㉠ ㉡ ㉢ ㉣② ㉡ ㉣ ㉠ ㉢
③ ㉣ ㉡ ㉢ ㉠④ ㉡ ㉢ ㉠ ㉣
⑤ ㉣ ㉢ ㉡ ㉠
26. 오른쪽 그림에서 이고, 일 때, 의 크기는?
① ②
③ ④
⑤
27. 오른쪽 그림의 직각삼각형 에서 의 이등 분선이 변 와 만나는 점을 라 하자.
일 때, 의 넓이는?
① 10cm2 ② 12cm2
③ 24cm2④ 48cm2
⑤ 36cm2
28. 에서 변 의 중점을 이라고 하자. 에서 변 에 내린 수선의 발을 각각 라 할 때, 이면 는 이등 변삼각형임을 증명하는데 쓰이지 않는 조건은?
① ②
③ ④
⑤
29. 오른쪽 그림에서 의 크기는?
① 90o② 60o
③ 50o④ 45o
⑤ 20o
30. 오른쪽 그림에서 점가의 내심이고,
일 때, 의 크기를 구하면?
① 18o ② 28o
③ 33o④ 36o
⑤ 42o
31. 오른쪽 그림에서 점 가 의 내심이고, 일 때, 의 크기를 구하여라.
32. 이고 점 는 삼각형 의 내접원의 중심이다. 이 때, 내접원의 반지름의 길이를 구하면?
① 1 cm② 1.5 cm
③ 2 cm④ 2.5 cm
⑤ 3 cm
33. 오른쪽 그림에서 점는 의 내심이고, 점 는 각각 원 의 접점이다. 일 때, 의 길이를 구하면?
① 10 cm② 11 cm
③ 12 cm④ 13 cm
⑤ 14 cm
34. 인 삼각형 의 의 외각의 이등분선과 의 외각의 이등분선의교점을 라 할 때, 의 크기를 구하여라.
35.에서 점는 외심이다. 일 때, 의 크기는?
① 10o② 15o
③ 20o④ 25o
⑤ 30o
36. 오른쪽 직각삼각형에서 빗변 의 중점을 이라 할 때, 의 길이를 구하면?
① 4 cm② 5 cm
③ 5.5 cm④ 6 cm
⑤ 6.5 cm
37. 오른쪽 그림에서 원는인 직각삼각 형의 내접원이다. 내접원의 넓이를 구하여라.
38. 오른쪽 그림과 같이 에서 의 이등분선이 만나는 점을 라 하고, 일 때, 의 둘레의 길이를 구하여라.
39. 점 는 삼각형 의 내심이다. 내접원의 반지름의 길이가 2cm이고 의 넓이가 24cm2 라 할 때, 이 삼각형의 세 변의 길이의 합을 구하여라. (단, D는 접점이다.)
40. 직각삼각형의 빗변의 중점을이라 하고 일 때, 의 크기를 구하여라.
41. 삼각형 에서 I는 내심이고 의 크기가 일 때, 의 크기를 구하여라.
42. 점 I는 의 내심이고 이다. 의 연장선과 와의 교점을 각각 라고 할 때, 의 크기를 구하 여라.
43. 세 변의 길이가 각각 6cm, 8cm, 10cm인 직각삼각형 ABC의 내접원 I의 반지름의 길이를 구하여라.
핵심예상문제 ………
1. ②
② 항등식이므로 참인 명제
2. ①
모든 경우에 대하여 참이 되는 것을 찾는다.
3. ③
③ 세 변의 길이가 같지 않은 이등변삼각형도 존재한다.
4. ⑤
㉠ 모든 정삼각형은 합동이다. (거짓)
㉡ 이면 이다. (참)
㉢ 12의 약수는 24의 약수이다. (참)
㉣ 이면 이다. (거짓)
(이면 )
5. ④
④ 삼각형의 외심에서 세 꼭지점에 이르는 거리가 같다.
6. ①
7.
라 하고 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같으므로
8. ③
합동)
합동)
합동)
9. ③, ④
① 합동
② 이므로
또 이므로
⑤ 이므로
10. ③
①, ④, ⑤는 이등변삼각형에 대한 정리이고, ②는 이등변삼각형의 정의이다.
11. ③
증명 과정은 다음과 같다.
(i) 문제의 내용을 가정과 결론으로 나눈다.
(ii) 가정에서 관련된 사항을 생각해낸다.
(iii) 결론이 성립하기 위한 조건을 찾는다.
(iv) 증명 방침을 세우고 차례로 설명한다.
12. ④
정의는 용어에 대한 약속이다.
13. ④
14. ③
(직각삼각형의 합동)이므로 이고,
에서
15. ④
와 에서
는 공통 …… ㉠
(가정) … ㉡
(가정) … ㉢
㉠, ㉡, ㉢ 에 의해
합동)
16. ①
에서 이므로
17. ②
오른쪽 삼각형에서 이므로는 이등변삼각형이다.
에서
또, 도 이등변삼각형이므로
에서
18. ①
모양과 크기가 같아야 합동이 된다. 따라서, ①은 한 변의 길이만 주어졌으므로, 합동이라 할 수 없고, ②, ③, ④, ⑤는 모양과 크기가 같으므로 합동이다.
19.
20.
라 하면
의 넓이
의 넓이
의 넓이
의 넓이
즉,
21. ③
22. ①, ③
의 이등분선 위의 점 에서 두 변에 내린 수선의 발을 각각 A, B라고 하면 와 에서
(가정)
는 공통
따라서 합동)이므로
23. ⑤
㉠은 정삼각형의 성질이다.
㉢에서 사다리꼴은 두 쌍의 대변이 서로 평행할 수도 있다.
24. ②
① 정리 ③ 정의 ④ 정리 ⑤ 정리
25. ④
26. ①
이므로
이므로
27. ③
점 D에서 에 내린 수선의 발을 E라 하면 와 에서
는 공통 …㉠
㉠, ㉡에 의해
합동)
28. ③
와 에서 (가정)
(가정) (가정)
합동)
따라서, 두 밑각의 크기가 같으므로 는 인 이등변삼각형이다.
29. ②
이므로 는 이등변삼각형이다.
이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같으므로
또,
30. ②
31.
32. ②
내접원의 반지름의 길이를 라 하면,
33. ④
합동)이므로
마찬가지로
34.
35. ③
이므로
따라서 에서
36. ②
M이 △ABC의 외심이므로
37.
내접원의 반지름의 길이를 라 하면
이므로
따라서 내접원 O의 넓이는
38.
△ADE의 둘레의 길이는
39.
40.
점 M은 △ABC의 외심이므로
따라서,
41.
42.
라고 하면
그런데,
43.
……㉠ ……㉡
……㉢
㉠+㉡+㉢에서
따라서,

키워드

외심,   내각,   외각,   중심,   반지름,   길이,   합동,   이등변삼각형