[과외]고등 수학 III-1.여러가지 일차변환

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본문내용

증명] 세 꼭지점의 좌표가 모두 (가)인 정삼각형이 존재한다고 하자. 이 삼각형을
평행이동하여 오른쪽 그림과 같이 한 꼭지점이 y B(c,d)
좌표평면의 원점 O에 놓이 도록 했을 때, 다른
꼭지점을 각각 A(a,b), B(c,d)라 하면, a,b,c,d는 A(a,b)
모두 (나)가 된다. 그런데 B는 A를 원점을 중심0 x
으로 만큼 회전이동한 점이므로,
이다. 여기서 이면 c가 (다)가 되고, b=0이면 이므로 d가 (다)가 된다.
이는 가정에 모순이다.
위의 증명에서 (가),(나),(다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면?
① 유리수,유리수,무리수 ② 무리수,유리수,무리수 ③ 유리수,무리수,유리수
④ 유리수,유리수,유리수⑤ 무리수,유리수,유리수
Ⅲ. 일차변환과 행렬
1. 여러 가지 일차변환
1.Ans) ③
Sol)
=
=
∴ a=-5, b=7
∴ a+b=2
2.Ans) ⑤
Sol)
구하는 행렬을 라 하면
=
=
∴=
=
∴=
3.Ans) ①
Sol)
A=라 하면
AP=AQ
⇒ A(P-Q) = 0
⇒ = 0
⇒ = 0
⇒ or
(ⅰ) k= -2, t=5 일 때
AP=(1, -4), AQ = (1,3)
(ⅱ) k=5, t=-2 일 때
AP=(8, 12) = AQ
∴ k=5, t= -2
4.Ans) ⑤
Sol)
=
=
=
⇒
∴ a+b = -8
Ⅲ. 일차변환과 행렬
1. 여러 가지 일차변환
5.Ans)③
Sol)
A=, A= 에서
A=
∴ A= 2
= 2
∴A⁴=16
=16
∴A⁴=
6.Ans) 0
Sol)
A=
⇒ =
=
=
∴ 구하는 값 : 0
7.Ans) ①
Sol)
일차변환은 원점을 원점으로 보내므로 ②,③,④는 상이 될 수 없다. 또, 일차변환은 직사각형을 평행사변형 또는 선분 또는 한점으로 보내므로 ⑤도 상이 될 수 없다.
(참고) 이 행렬이 정사각형을 <보기> ①의 선분으로 보낸다.
8.Ans) ⑤
Sol)
A==
이므로 일차변환 f는 원점을 중심으로 60° 회전이동하는 변환이다.
따라서 으로 나타내어지는 일차변환은 원점을 중심으로 1997×60° 회전이동하는 일차변환이다.
1997=6×332+5 이므로 으로 나타내어지는 일차변환은 300° 회전이동하는 일차변환과 같다.
따라서 주어진 정삼각형은 ⑤와 같은 도형으로 옮겨진다.
Ⅲ. 일차변환과 행렬
1. 여러 가지 일차변환
9.Ans)④
Sol)
f(B)+f(C)
= f(B+C)
= f
= 2f
= 2f(A)
= 2C
=
10.Ans) ⑤
Sol)
2f(P)-f(Q)
= f(2P)-f(Q)
= f(2P-Q)
= f
=
=
∴ (-12, -6)
11.Ans)④
Sol)
f(sp-3q) = 2f(p)-3f(q)
= 2-3
= -
=
∴ (-5, -5)
12.Ans) ①
Sol)
=
=
⇒
⇒
∴ (6, -13)
Ⅲ. 일차변환과 행렬
1. 여러 가지 일차변환
13.Ans) ①
Sol)
AP=P
⇒ =
⇒ =
⇒
⇒ ······ ㉠
㉠이 x=0, y=0 이외의 해를 가지므로
D== (a-1)(d-1)-bc = 0
········· ㉡
①~⑤ 중 ①만이 =0
14.Ans)①
Sol)
일차 변환의 행렬을 라 하면
(ⅰ) ==
⇒ ······· ㉠
(ⅱ) ==
⇒ ······· ㉡
㉠, ㉡에서 p=2, q=1, r=0, s=3
∴ ==
∴ a=5, b=-3
15.Ans) ②
Sol)
이동전의 점을 (x,y), 이동 후의 점을 (x',y')라 하면,
ㄱ.
ㄴ. =
(∵)
ㄷ.
ㄹ. =
ㅁ. =
==
∴
∴ 일차변환은 ㄴ,ㄹ
Ⅲ. 일차변환과 행렬
1. 여러 가지 일차변환
16.Ans) -3, 2
Sol)
P(x,y)라 하면
=
⇒
⇒ ···· ㉠
㉠이 x=0, y=0 이외의 해를 가지므로
D= = k(1+k)-6 = 0
⇒ k= -3, 2
17.Ans)④
Sol)
자기 자신으로 옮기는 점을 (x, y)라고 하면
=
=
좌변으로 이항하면
-=
=
이 등식을 만족하는 점 (x, y)가 원점이외에도 존재하므로
판별식 : D=(a-1)(a-1)-(-b)b=0
(a-1)²+b²=0
여기서 a,b는 실수이므로
a-1=0, b=0
∴ a=1, b=0
18.Ans)
Sol)
원점을 중심으로 θ만큼 회점이동한 변환식은
= 에서
=
=
∴ 2cosθ-2sinθ =--1 ········ ①
2sinθ+2cosθ = -1 ········· ②
① ②를 연립해서 풀면은
①+②에서 4cosθ= -2
∴ cosθ = -
∴ θ =
②-①에서 4sinθ=2
∴ sinθ =
∴ θ =
19.Ans) ③
Sol)
선분 P, Q를 2: 1로 내분하는 점은
==+
여기서 f()=f(+)
= f(Q)+f(P)
= Q'+P'
(∴f(P)=P', f(Q)=Q')
Ⅲ. 일차변환과 행렬
1. 여러 가지 일차변환
따라서 +=
∴(1,)
20.Ans) ③
Sol)
원점을 중심으로 10°만큼 회전이동한 일차변환행렬은
A=
=
A++…+=라 놓으면
A·A·A···Aⁿ=이므로
행렬 A에서
a=d=cos+cos+···cos=0
-b=c=sin+sin+···sin=0
∴=0
따라서 점(1,1)은 원점으로 옮겨진다.
21.Ans) ⑤
Sol)
B(a,b), E(c,0) 이라 하면 D(a,0), A(0,b)이다. 주어진 일차변환의 행렬을 X라 하면
X=
X =
= -
=
여기서 점 A의 상은
=
따라서 점 A가 옮겨지는 점은 H(c, -b)
22.Ans) ①
Sol)
A=
A=
=
∴A⁴=
= = -
Ⅲ. 일차변환과 행렬
1. 여러 가지 일차변환
∴A⁴ = -
따라서 =(--i)
= -
23. Ans) ①
Sol)
세 꼭지점의 좌표가 모두 유리수인 정삼각형이 존재한다고 가정하자.
이 삼각형을 평행이동하여 오른쪽 그림과 같이 한 꼭지점이 좌표평면의 원점 O에 놓이도록 했을 때, 다른 꼭지점을 각각 A(a,b), B(c,d)라 하면, a,b,c,d는 모두 유리수가 된다.
그런데 B는 A를 원점을 중심으로 60°만큼 회전이동한 점이므로
=
=
=
∴ c=a-b, d=a+b 이다.
여기서 b≠0이면 c가 무리수가 되고, b=0이면 a≠0이므로 d가 무리수가 된다. 이는 가정에 모순이다.
∴ (가) 유리수, (나) 유리수, (다) 무리수

키워드

행렬,   좌표평면,   유리수,   무리수