[기말고사]수학사

목차

1. 현 중등학교 기하학의 (공리적) 근거를 고찰하고, 비유클리드 기하학이 도입되지 않고 있는 것에 대한 견해를 표명하시오.

2. 리만의 사상과 그것이 20세기 수학에 미친 영향에 대하여 논하시오. (특히 아인슈타인의 상대성원리에 끼친 영향을 포함하여)

3. 코시가 정의한 해석학의 개념들과 현대의 그것을 비교하시오.

4. 프랑스 혁명 및 히틀러 시대가 수학 및 수학교육에 미친 영향을 비교 분석하시오.

5. 현행의 교육과정에서 음수의 도입 및 이해는 어떤 방식으로 이루어지고 있는지를 알아보고 음수의 개념의 역사적 생성 및 발전과정과 비교 고찰하시오.

본문내용

에서 일찍이 음수를 이해할 수 있었던 것은 동양사상의 기본인 음양론 덕분이다. 우리 태극기는 음과 양이 조화를 나타내고 있다. 이런 사상이 있었기 때문에 쉽게 동양인은 음수를 생각해낸 것이다.
이런 옛적의 사상(음양론)을 모르는 독자 여러분이 음수를 이해하기 어렵다고 생각하는 것은 이상한 것이 아니다. 데카르트 이전의 서양의 수학 대가들에게 이미 음수가 알려져 있었지만 그들은 음수를 가공의 수, 불합리한 수, 가짜의 수로 여기고 있었다. 서양인에게의 음양의 사상이 없었기 때문에 수로서 실감나지 않았던 것이다.
17세기 이후의 수학자인 데카르트(1596-1650)는 대수적 연산을 기하학 연구에 응용하였는데 좌표의 생각을 도입하여, 직선 위에 양수, 영, 음수를 기하학적으로 나타내어 이해하기 쉽게 하였다. 즉, 수직선이 수학 교육에 있어서 음수를 이해하는데 얼마나 크게 도움이 되는가는 어느 누가 보아도 쉽게 알 수가 있다.
*음수지도를 위한 직관적 모델
1. 수직선 -수직선상에 원점에 대한 양수a의 대칭점을 -a로 정의하여 음수를 표시할 수 있 다. Freudenthal은 수직방향의 수직선사용을 제안함. 수평수직선은 좌우방향감의 문제, 음수를 더하는 (빼는) 것은 그 수의 반대양수를 빼는(더하는)것이라는 음수 계산을 시각적으로 명확하게 설명해주지 못함.
2. 셈돌 모델(Gattegno제안)-양수는 흑색돌로, 음수는 백색돌로 나타낸다. 하나의 흑백쌍은 0으로 생각함. 정수를 자연수의 순서쌍으로 간주함. 덧셈과 뺄셈이 각각의 반대 연산이 라는 것을 명확하게 해줄 수는 있으나 곱하기를 다룰 수 없다는 결점이 있으며 뺄셈 연 산 기호와 음수부호간의 규칙을 이해하는 데 혼란을 줄 수 있다는 제한점이 있다.
3.지렛대 모델(Freudenthal제시)-음수의 개념을 시각화하기 위한 것임. 지레의 축에서 오른 쪽으로의 길이는 양수로, 왼쪽으로의 길이는 음수로 나타내어지며 위에서 아래쪽 방향으 로 작용하는 힘은 양, 아래에서 위쪽 방향으로 작용하는 힘은 음을 의미한다. 힘과 거리 의 곱은 모멘트가 되며 모멘트의 합이 0이 되면 지렛대는 평형상태를 이룬다. 계산의 합 이 0이 되는 상태 평형만 시각적으로 파악할 수 있으므로 등식의 좌변, 우변의 개념과 연 관하여 볼 때 상당한 제한을 갖고 있으며 두 가지로 표현되는 모멘트 역시 높은 수준의 개념이므로 쉽게 지도되고 이해되기 어렵다.
*음수지도에 관한 Freudenthal의 견해는 형식 대수적 지도방법 제안(귀납-외삽법)하였는데
을 만족하는 의 값을 라고 정의함으로서 음수를 순수하게 형식적으로 지도하는 방안이다. 직관적 방법의 수동적 측면을 보완해 주고 음수개념의 학습과정을 분석하는 것으로부터 출발할 것을 강조함. 아동에게 음수의 개념을 지도하는 것은 형식적 관점에서 수학의 개념을 지도하게 될 최초의 기회이다.
직관적 지도에 있어서 교사의 역할은 직관성이 약한 내용을 지도할 때에는 학생들이 직관적 활동을 반성해보고, 자신의 직관적 사고를 개선, 확인, 논증하도록 하는 형식적 지도방법이 부수되어야 한다.

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