Griffith 이론

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Griffith 이론에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

폭 2a , a b 로 가정한다.
균열의 길이가 증가하기 위해서는 재료의 표면 에너지를 능가하는 평판 내의 충분한 퍼텐셜 에너지가 필요하다.
미소 증가 da에 대한 식은
식 (1)
여기서
= 총 에너지
= 외부힘 과 내부변형에너지에 의한 위치에너지
= 새로운 표면을 만드는데 쓰이는 일 (에너지)
식 (2)
식 (3)
여기서
= 균열을 가진 물체의 위치에너지
= 균열이 없는 물체의 위치 에너지
= 균열(크랙)의 위치에너지
= 두께
= 작용응력
= 균열길이의 1/2
= 탄성계수
식 (4)
는 균열 길이에 따라 변하지 않기 때문에 이다.
식 (5)
여기서, = 비표면 에너지
식 (6)
즉, 일 때 파괴가 일어난다. 식 (7)
균열 길이에 대해 위치 에너지를 미분하여 평형 조건을 정하여 0 으로 두면
식 (8)
식 (9)
따라서 파괴가 일어 날 때의 파괴응력은
식 (10)
여기서, : 평면응력(두께를 고려하지 않을 정도로 얇은 경우)의 탄성계수
: 평면변형률 (두께를 고려할 만큼 두꺼운 경우)의 탄성계수
식 (11)
여기서,
: -방향 변위
식 (12)
변위 를 구하기 위해 Westergaard theorem를 도입한다.
♧ Westergaard theorem
Airy Stress function을 도입
, , 식 (13)
→ 도입이유 : 응력 tensor를 하나의 scalar function으로 표현.
complex stress function 를 도입하고 를 Airy function으로 표현.
→ 도입이유 : Cauchy-Riemann 공식에 의하여 직교좌표계에서 x-y에 대한 관계를 얻을 수있다.
, 식 (14)
, 를 각각 와 의 적분 값이라고 하면
, , 식 (15)
여기에 Cauchy-Riemann condition을 적용한다.
식 (16)
식 (17)
식 (18)
식 (19)
식 (20)
식 (21)
Westergaard는 Airy stress function을 다음과 같이 하였다.
식 (22)
Strain_displacement 관계에 의해
식 (23)
식 (24)
식 (25)
식 (26)
♠ for plane strain state
식 (27)
식 (28)
식 (29)
♠ for plane stress state
식 (30)
식 (31)
이제 여기에서 Airy stress function을 도입한다. 그러나 Airy stress function은 plane strain state에 대하여는 fracture stress에서 탄성계수, E 대신에 을 대입함으로써 plane stress state에서의 fracture stress를 구할 수 있다.
그림에서 stress function은 다음과 같이 표현된다.
식 (32)
식 (33)
식 (34)
from
식 (35)
식 (36)
식 (37)
식 (38)
Boundary condition
인 경우
식 (39)
실제로 균열은 거의 slit와 같으므로 는 가 되어 식 (39)을 식(12)에 대입하여 적분하면
식 (40)
Orowan은 Griffith가 사용한 표면에너지 이외에 소성변형에 필요한 표면에너지 가 필요함을 지적하고 다음 식과 같이 수정하였다.
식 (41)
이러한 Orowan의 수정에 의하여 재료의 파괴현상에 대하여 실제의 관찰결과와 적합하는 이론적 해석이 주어지게 되었고, 도한 재료의 파괴강도에 관한 이론의 기초가 되었다.
♧ Griffith이론은 파괴 역학적 문제를 해결함에 있어서 포텐샬 에너지를 근간으로 한 접근법에 그 이론적 배경을 제시 하였다고 할 수 있다. 현재 사용되는 파괴역학 파라메터 G 와 J는 모두 이 이론에 배경을 둔 파라메터이다. G는 선형탄성 파라메터이고, J는 탄소성 파라메터이다. J의 경우 소성변형이 생겼을 때, 이것을 비선형 탄성으로 가정함으로써 포텐샬 에너지로서 설명하는 파라메터이다.
이상적인 고체에 있어서 균열은 단지 원자 결합을 끊음으로서 형성 될 수 있다.
그러나 금속에 있어서 균열이 진전할 때, 균열 끝단의 경계에 전위운동이 일어나고 추가적인 에너지 분산을 야기한다. 그러기에 Griffith 이론에 의한 파괴강도는 실제 금속의 파괴강도를 과소 평가 하게 된다.
◎ 에너지 해방률
Griffith의 모델과 동등한 에너지 방법으로 Irwin이 제시하였다. 이는 균열을 확장시키는 데 필요한 에너지의 척도를 나타낸다.
균열의 확장은 가 임계값에 도달했을때 발생
여기서
◎탄성체의 퍼텐셜 에너지
정하중에서의 균열판
여기서
고정변위에서의 균열판

키워드

에너지,   응력,   균열